2강 ‘위치, 속도, 가속도’ 1부｜‘『물리의 정석』 기초 잡기’ 연속 강연｜이종필
고등학교 수학의 핵심인 미적분은 많은 수험생이 어려워하는 분야이지만, 그 기본 원리를 이해하면 충분히 소화할 수 있는 학문입니다. 미분의 정의는 함수 $f(x)$에서 변수 $x$의 미세한 변화에 따른 함숫값의 변화율을 나타내는 도함수를 찾는 과정입니다. 함수의 극한을 이용하여 정의되는 도함수는 두 함수의 합을 각각의 미분으로 나누어 계산할 수 있게 해주며, 곱의 미분법과 같은 성질을 통해 복잡한 함수들의 변화를 분석하는 기초를 마련해 줍니다. 이러한 기초 미분법은 모든 이공계 학문을 지탱하는 가장 중요한 도구입니다. 구체적인 함수의 미분법을 살펴보면 상수함수는 변화율이 없으므로 미분값이 0이 되며, 가장 단순한 함수인 $x$의 미분은 1이 됩니다. 이를 확장하면 $x$의 $n$제곱 형태인 다항함수를 미분했을 때 지수가 앞으로 내려오고 차수가 하나 줄어드는 놀라운 규칙성을 발견할 수 있습니다. 또한 삼각함수인 사인과 코사인, 지수함수와 로그함수처럼 다항함수로 표현되지 않는 초월함수들도 각각 고유한 미분 공식을 가집니다. 특히 지수함수는 미분해도 자기 자신이 유지되는 독특한 성질을 지녀 물리 법칙을 설명하는 미분방정식에서 필수적으로 등장합니다. 미분과 역관계에 있는 적분은 미적분학의 기본 정리를 통해 그 의미가 완성됩니다. 적분은 미분하여 피적분함수가 되는 원래의 함수를 찾는 과정으로, 도형의 넓이를 구하는 계산법에서 출발하여 현대 과학의 필수적인 분석 도구로 자리 잡았습니다. 미분에서 성립하던 상수배와 합의 성질이 적분에서도 동일하게 적용되는 선형성을 지니며, 이는 복잡한 수식을 단순화하는 데 큰 도움을 줍니다. 결국 적분 기호와 수식을 이해한다는 것은 그 안에 담긴 변화와 누적의 논리를 파악하는 과정이라 할 수 있습니다. 다항함수의 적분은 차수를 늘리고 역수를 곱하는 방식으로 쉽게 계산할 수 있지만, 모든 함수가 미분처럼 즉각적으로 적분되는 것은 아닙니다. 적분은 마치 전개된 다항식을 다시 인수분해하는 과정처럼 적절한 형태를 찾아내는 과정이 매우 중요합니다. 대표적으로 로그함수의 적분은 직접 구하기 어렵지만, 곱의 미분법을 거꾸로 이용한 부분적분법이라는 고급 기법을 통해 해결할 수 있습니다. 이처럼 적분은 가능한 형태를 유도하기 위한 다양한 수학적 전략이 필요하며, 계산 결과가 맞는지 확인하기 위해 다시 미분하여 검토하는 과정이 동반되어야 합니다. 실제 물리 현상을 해석할 때 가장 빈번하게 사용되는 기법 중 하나는 합성함수 미분법인 연쇄 법칙입니다. 이는 복잡하게 얽힌 함수를 미분할 때 내부의 식을 하나의 새로운 변수로 치환하여 단계적으로 미분하는 방식입니다. 전체 함수를 하나의 덩어리로 보고 미분한 뒤, 그 내부에 들어있던 함수의 미분값을 다시 곱해주는 연쇄적인 과정을 거칩니다. 이 방법은 복잡한 다항식뿐만 아니라 삼각함수나 지수함수 안에 또 다른 함수가 포함된 경우에도 매우 유용하며, 수식을 직관적이고 효율적으로 다루는 데 핵심적인 역할을 합니다. 연쇄 법칙을 활용하면 암기하기 어려운 복잡한 공식들을 논리적으로 유도할 수 있습니다. 예를 들어 로그함수의 미분법이나 임의의 밑을 가진 지수함수의 미분은 지수와 로그의 역함수 관계에 합성함수 미분법을 적용함으로써 증명됩니다. 무조건적인 암기는 실제 계산에서 오차를 유발할 수 있지만, 원리를 이해하면 복잡한 상황에서도 스스로 공식을 이끌어낼 수 있는 힘이 생립니다. 또한 이는 분수 형태의 함수를 미분하는 몫의 미분법으로 확장되어 탄젠트 함수와 같은 복잡한 삼각함수의 도함수를 구하는 논리적 근거가 됩니다. 미적분의 다양한 공식들은 결국 가장 기본적인 정의와 연쇄 법칙으로부터 파생된 결과물들입니다. 탄젠트의 미분 결과가 시컨트의 제곱으로 나타나는 것과 같은 복잡한 수식도 알고 보면 곱의 미분법과 합성함수 미분법의 정교한 조합에 불과합니다. 수학적 사고력을 기른다는 것은 이러한 논리적 연결 고리를 스스로 찾아내고 수식으로 정확하게 표현하는 능력에 달려 있습니다. 어려운 고비마다 기본 원리로 돌아가 수식의 의미를 되새긴다면, 물리나 공학에서 마주하는 수많은 변화의 원리를 수학이라는 명쾌한 언어로 풀어낼 수 있을 것입니다.
