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[카오스 짧강] 모델의 정리와 BSD(버치와 스위너튼-다이어) 추측

타원 곡선 방정식에서 유리수 해를 찾는 과정은 때때로 간단한 대입에서 시작됩니다. 예를 들어 특정 방정식에 0, 1, 2와 같은 정수를 차례로 대입하다 보면 (3, 5)와 같은 정수 해를 발견할 수 있습니다. 이러한 해는 단순히 하나의 점에 그치지 않고, 타원 곡선이 가진 독특한 기하학적 성질과 결합하여 새로운 가능성을 열어줍니다. 타원 곡선 위의 점들은 서로 더하거나 자기 자신을 여러 번 더하는 연산이 가능하기 때문입니다. 이러한 연산 구조를 통해 우리는 처음에 발견한 간단한 해로부터 훨씬 더 복잡하고 다양한 형태의 해들을 체계적으로 유도해낼 수 있습니다. 20세기 초반 수학자 모델은 타원 곡선의 유리수 해 집합에 관한 중요한 정리를 증명했습니다. 모델의 정리에 따르면, 타원 곡선 위의 모든 유리수 해는 유한 개의 특정한 생성원들을 사용하여 생성될 수 있습니다. 즉, 무수히 많은 해가 존재하더라도 그 근간이 되는 몇 개의 생성원만 알고 있다면, 타원 곡선 군 구조의 연산을 반복하여 나머지 모든 해를 찾아낼 수 있다는 의미입니다. 이는 복잡해 보이는 수의 세계에서 유한한 기초를 통해 무한한 구조를 설명할 수 있음을 보여주는 놀라운 결과로, 현대 정수론의 근간을 이루는 핵심적인 이론 중 하나로 평가받습니다. 현대 수학은 이제 해의 존재 여부를 묻는 단계를 넘어, 알려진 해를 효율적으로 찾아내는 계산적이고 알고리즘적인 방법론에 주목하고 있습니다. 모델의 정리는 생성원이 존재한다는 사실을 명확히 밝혔지만, 정작 그 생성원을 구체적으로 도출하는 과정은 여전히 미지의 영역으로 남아 있습니다. 타원 곡선이 하나 주어졌을 때 모든 유리수 해를 생성할 수 있는 생성원을 찾는 일반적인 규칙이 아직 부재하기 때문입니다. 이러한 간극을 메우는 것은 현대 정수론이 마주한 가장 거대한 벽 중 하나이며, 수많은 수학자가 이 보이지 않는 생성원을 찾기 위해 고군분투하고 있습니다. 이러한 난제를 해결하기 위해 등장한 것이 바로 '버치와 스위너튼-다이어 추측', 줄여서 BSD 추측입니다. 이 추측은 타원 곡선의 생성원을 찾는 알고리즘을 제시하며 정수론 분야에서 가장 어려운 문제 중 하나로 손꼽힙니다. 이 문제는 그 중요성을 인정받아 클레이 수학연구소가 선정한 7개의 '밀레니엄 문제' 중 하나로 포함되었습니다. 밀레니엄 문제는 해결 시 100만 달러의 상금이 주어지는 세계적인 난제로, 현재까지 푸앵카레 추측만이 해결되었을 뿐 BSD 추측을 포함한 나머지 여섯 문제는 여전히 전 세계 수학자들의 도전 과제로 남아 있습니다. BSD 추측과 같은 밀레니엄 문제에 도전하는 것은 인류 지성의 한계를 시험하는 일과 같습니다. 농담 삼아 100만 달러를 버는 가장 어려운 방법이라고 불릴 만큼, 이 문제들은 수십 년 혹은 수백 년의 세월을 요구하기도 합니다. 타원 곡선의 비밀을 완전히 파헤치기까지 앞으로 얼마나 더 많은 시간이 걸릴지는 아무도 알 수 없습니다. 그러나 존재를 증명하고 그 실체를 찾아가는 과정에서 얻어지는 수학적 통찰은 현대 과학과 암호학 등 다양한 분야에 지대한 영향을 미치고 있습니다. 보이지 않는 해를 찾아가는 수학자들의 여정은 지금 이 순간에도 계속되고 있습니다.

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[카오스 짧강] 그래프로 타원곡선을 더하는 법!

타원곡선은 수학적으로 매우 흥미로운 기하학적 형태를 지니고 있습니다. 예를 들어 $y(6-y) = x^3 - x$와 같은 방정식을 컴퓨터 프로그램을 통해 시각화하면 독특하고 아름다운 곡선 모양이 나타나는데, 이는 해당 방정식을 만족하는 모든 점 (x, y)의 집합체입니다. 이러한 곡선은 단순히 시각적인 아름다움을 넘어, 현대 수학의 핵심적인 개념인 '군'을 형성하는 중요한 기초가 됩니다. 복잡해 보이는 수식이라도 그래프로 구현하면 점들 사이의 유기적인 관계를 시각적으로 명확하게 이해할 수 있는 훌륭한 토대가 마련됩니다. 타원곡선 위에서는 점들 사이의 특별한 기하학적 연산이 가능합니다. 곡선 위의 서로 다른 두 점 A와 B를 선택하고 이를 잇는 직선을 그으면, 3차 방정식의 수학적 특성상 이 직선은 곡선과 만나는 세 번째 점 C를 반드시 가지게 됩니다. 이 교점 C에서 수직선을 그어 곡선과 다시 만나는 지점을 찾으면, 이를 두 점의 합인 A+B라고 정의합니다. 이는 타원곡선이라는 공간 안에서 점들이 이동하며 새로운 위치를 찾아가는 고유하고 엄밀한 덧셈 법칙이라고 할 수 있습니다. 만약 서로 다른 두 점이 아니라 하나의 점 A를 자기 자신과 더하고 싶다면 접선의 개념을 활용해야 합니다. 곡선 위의 한 점 A에서 그은 접선이 곡선의 또 다른 부분과 만나는 지점을 찾고, 앞선 방식과 마찬가지로 그 교점에서 수직선을 그어 새로운 점을 구하는 방식입니다. 이 과정을 통해 도출된 결과가 바로 A+A가 됩니다. 이러한 기하학적 규칙을 적용하면 곡선 위의 어떤 점이라도 연산을 무한히 반복할 수 있으며, 이를 통해 곡선 위의 새로운 위치에 놓인 점들을 체계적으로 생성해낼 수 있습니다. 이러한 독특한 연산 체계는 수학에서 정의하는 '군(Group)'의 구조를 완벽하게 충족합니다. 군이란 특정 집합 내의 원소들이 연산에 대해 닫혀 있으며 일정한 결합 법칙을 따르는 수학적 체계를 의미합니다. 타원곡선 위의 점들은 기하학적인 덧셈 연산을 통해 서로 긴밀하게 연결되며, 어떤 연산을 수행하더라도 그 결과가 항상 다시 곡선 위의 점이 된다는 강력한 성질을 보유하고 있습니다. 이는 무질서해 보이는 점들의 집합에 엄밀한 수학적 질서를 부여하며, 복잡한 대수학적 문제를 기하학적으로 풀어낼 수 있는 열쇠가 됩니다. 타원곡선의 군 구조는 디오판토스 방정식과 같은 난해한 수론 문제를 해결하는 데 결정적인 역할을 수행합니다. 정수 해와 같은 비교적 단순한 점으로부터 시작해 연산을 반복적으로 수행하면, 인간의 직관이나 단순 계산으로는 도저히 찾아낼 수 없는 매우 복잡한 형태의 유리수 해들이 줄줄이 생성되기 때문입니다. 이러한 해들은 모두 하나의 군이라는 울타리 안에 속해 있으므로, 수학자들은 이 체계적인 연산의 지도를 따라 수의 세계 깊숙이 숨겨진 정답들을 그 어느 때보다 효율적이고 정확하게 탐색해 나갈 수 있습니다.

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[카오스 짧강] 아벨과 갈루아가 증명한 것! 5차 방정식에는 근의 공식이 없다?

수학의 역사에는 짧은 생애에도 불구하고 인류의 지성사에 거대한 족적을 남긴 인물들이 있습니다. 노르웨이의 닐스 헨리크 아벨과 프랑스의 에바리스트 갈루아가 그 주인공입니다. 이들은 모두 20대라는 젊은 나이에 세상을 떠났지만, 현대 수학의 근간이 되는 방정식 이론에서 혁명적인 업적을 세웠습니다. 우리가 흔히 접하는 1차나 2차 방정식을 넘어, 도저히 풀릴 것 같지 않던 고차 방정식의 비밀을 파헤친 이들의 이야기는 단순한 수학적 정리를 넘어선 깊은 울림을 줍니다. 방정식은 아주 오래전부터 인류의 실생활과 밀접하게 연결되어 있었습니다. 1차 방정식은 길이를 재는 데 쓰였고, 2차 방정식은 땅의 넓이를 계산하여 세금을 매기거나 건물을 짓는 데 필수적이었습니다. 고대 그리스나 이집트, 메소포타미아 문명에서도 이러한 계산은 활발히 이루어졌습니다. 3차 방정식 역시 부피를 구하는 과정에서 자연스럽게 등장했습니다. 이처럼 차수가 높아질수록 우리가 다루는 대상은 선에서 면으로, 다시 입체적인 공간으로 확장되며 수학적 깊이를 더해갔습니다. 하지만 4차 이상의 고차 방정식은 시각적으로 이해하기가 쉽지 않습니다. 이때 등장하는 현실적인 개념이 바로 금융과 화폐 경제입니다. 복리 이자를 계산하는 과정에서 고차 방정식의 필요성이 대두된 것입니다. 예를 들어 원금에 일정 이율이 붙는 상품을 수년간 유지할 때, 그 수익률을 비교하고 분석하려면 차수가 높은 방정식이 필요해집니다. 돈의 흐름을 정확히 파악하려는 인간의 욕구가 수학을 추상적인 공간의 영역에서 복잡한 수식의 세계로 이끈 셈입니다. 아벨과 갈루아는 이 지점에서 놀라운 결론을 도출했습니다. 바로 5차 이상의 방정식은 일반적인 근의 공식을 구할 수 없다는 사실을 증명한 것입니다. 우리는 흔히 2차 방정식의 근의 공식을 배우며 모든 방정식에 정해진 해법이 있을 것이라 기대하지만, 5차 이상의 방정식부터는 그런 공식 자체가 존재하지 않습니다. 이는 단순히 공식을 아직 발견하지 못한 것이 아니라, 수학적 구조상 존재할 수 없음을 완벽하게 입증한 것이기에 더욱 충격적이고 위대한 발견으로 평가받습니다. 아벨은 5차 방정식이 일반적인 방법으로 풀리지 않는다는 사실을 먼저 제시했고, 갈루아는 방정식의 군 구조를 연구하여 그 근본적인 이유를 규명했습니다. 이들의 연구는 2,000년 동안 수학자들을 괴롭혔던 난제를 해결했을 뿐만 아니라, 현대 대수학의 문을 여는 결정적인 계기가 되었습니다. 비록 짧은 생을 살았지만, 이들이 남긴 논리적 엄밀함은 오늘날 우리가 우주의 질서를 이해하고 복잡한 수식을 다루는 방식에 지대한 영향을 미치고 있습니다.

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[개념클립] 세계적인 수학자, 이임학

수학의 역사에서 5차 방정식의 근의 공식을 찾는 문제는 오랜 시간 해결되지 않은 난제였습니다. 천재 수학자 갈루아는 기존 수학의 한계를 극복하기 위해 '군론(Group Theory)'이라는 혁신적인 언어를 창조해 냈습니다. 군론은 단순히 대상을 모아둔 집합의 개념을 넘어, 원소들 사이의 연산이 가능해지는 구조를 다루며 대칭성을 정교하게 표현합니다. 갈루아는 이 새로운 체계를 통해 5차 방정식의 근의 공식이 존재할 수 없는 이유를 논리적으로 증명해 냈으며, 이는 현대 수학의 흐름을 바꾸는 중요한 전환점이 되었습니다. 해방 직후의 척박한 환경 속에서도 한국 수학의 자존심을 세운 인물이 바로 이임학 교수입니다. 그는 경성제국대학 시절 수학과가 없어 물리학을 전공하면서도 독학으로 수학적 깊이를 쌓았습니다. 우연히 남대문 시장에서 미군 부대를 통해 흘러나온 미국수학회지를 발견한 그는, 그 속에 담긴 막스 초른의 난제를 접하게 됩니다. 정규 교육 과정조차 제대로 갖춰지지 않았던 시절이었지만, 그는 자신만의 통찰력으로 문제의 해법을 찾아내어 미국에 있는 초른 교수에게 편지를 보냈습니다. 이임학 교수의 해법을 받은 막스 초른은 그 가치를 즉시 알아보고, 1949년 국제 학술지인 '불레틴(Bulletin)'에 이임학의 이름으로 논문을 발표해 주었습니다. 이는 한국인이 국제 저널에 성과를 올린 역사상 최초의 사례로 기록되었습니다. 이후 이임학 교수는 자신의 성취에 안주하지 않고, 해외의 수학 원서들을 직접 번역하며 국내 수학교육의 기틀을 마련하는 데 헌신했습니다. 그의 노력은 한국 현대 수학의 연구와 교육이 시작되는 소중한 밑거름이 되었으며, 오늘날까지도 많은 수학자에게 큰 영감을 주고 있습니다.

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[강연] 방황의 끝에서 내가 만난 현대 수학 : 구조와 관계 2_by 박형주 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 4강 두 번째 이야기 | 4강 ②

기하학의 어원은 그리스어 '게오메트리아'에서 시작되었습니다. 이는 '땅을 측정하다'라는 의미를 담고 있는데, 고대 이집트에서 나일강의 범람 이후 토지를 공정하게 재분배하기 위해 측량 기술이 발달한 것과 맥을 같이 합니다. 동양에서는 이를 '기하(幾何)'라고 번역했는데, 이는 '얼마나, 어떻게 잴 것인가'라는 질문을 한자로 옮긴 것입니다. 이처럼 기하학은 단순히 도형을 연구하는 학문을 넘어, 고대 국가의 통치와 권력을 유지하기 위한 필수적인 제왕의 학문으로 자리 잡았습니다. 성경 다음으로 인류 역사상 가장 많이 읽힌 책으로 꼽히는 유클리드의 '기하학 원론'은 서양 지성사의 근간을 이루었습니다. 아인슈타인이 마음의 평화를 얻기 위해 항상 곁에 두었다는 이 책은, 한 개인의 업적이라기엔 너무나 방대하여 여러 학자의 공동 저작이라는 설이 있을 정도입니다. 유클리드는 자명한 진리인 '공리'로부터 논리적 추론을 통해 결론을 도출하는 체계적인 방식을 정립했습니다. 이러한 사고 체계는 수학을 넘어 철학, 정치, 심지어 미국의 독립선언서 작성에까지 깊은 영감을 주었습니다. 유클리드 기하학이 지배하던 2,000년의 시간은 정적인 수학의 시대였습니다. 하지만 17세기 천체 운동에 대한 관심이 높아지면서 변화하는 세계를 설명할 새로운 도구가 필요해졌습니다. 뉴턴은 만유인력의 법칙을 증명하고 행성의 궤도를 계산하는 과정에서 정적인 기하학의 한계를 절감했고, 결국 변화를 다루는 '미적분'을 탄생시켰습니다. 이는 인류의 세계관이 멈춰 있는 대상에 대한 탐구에서 움직이고 변화하는 역동적인 세계로 확장되었음을 의미하는 중요한 전환점이자 수학적 진보였습니다. 대수학과 기하학의 역사적인 만남은 데카르트의 기발한 상상력에서 시작되었습니다. 천장에 붙은 파리의 위치를 숫자로 표현할 수 없을까 고민하던 그는 좌표평면이라는 개념을 창안했습니다. 이를 통해 도형이라는 기하학적 대상을 수식이라는 대수적 언어로 변환할 수 있게 되었습니다. 이제 파리의 움직임은 곡선이라는 그림인 동시에 숫자들의 변화를 담은 방정식이 되었습니다. 이 혁신적인 결합은 복잡한 기하 문제를 명쾌한 수식 풀이로 해결할 수 있는 대수기하학이라는 새로운 지평을 열었습니다. 현대 수학은 서로 다른 영역이 연결될 때 난제를 해결하는 강력한 힘을 발휘합니다. 페르마의 마지막 정리가 대수적 문제를 기하학적 곡선의 성질로 치환하여 해결된 사례는 수학적 상상력의 정수를 보여줍니다. 이처럼 보이지 않는 규칙들을 연결해 나가는 과정을 '빅 매스(Big Math)'라 부를 수 있습니다. 수학은 사물의 구조를 탐구하는 대수학과 대상 간의 관계를 살피는 해석학으로 나뉩니다. 이 두 축을 이해하는 것은 우리가 세상을 바라보는 논리적 틀을 완성하고 자연의 질서를 깊이 있게 통찰하는 과정과도 같습니다.

박형주

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

수학

[강연] 방황의 끝에서 내가 만난 현대 수학 : 구조와 관계 1_by 박형주 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 4강 첫 번째 이야기 | 4강 ①

위대한 과학자의 길은 흔히 고독한 연구의 연속이라 생각하기 쉽습니다. 하지만 물리학자 이휘소 박사를 추모하는 강연에서 만난 젊은 트호프트 박사의 이야기는 이러한 편견을 깨뜨려 주었습니다. 그는 동료 과학자들과의 깊은 유대감과 공동의 성취가 얼마나 큰 가치를 지니는지 강조했습니다. 학문적 성과 뒤에 숨겨진 뜨거운 동지애는 누군가에게는 평생을 바칠 학문의 길로 들어서는 결정적인 전환점이 되기도 합니다. 과학은 혼자 하는 것이 아니라, 서로의 지혜를 나누며 함께 나아가는 과정임을 깨닫는 순간 새로운 세계가 열립니다. 이휘소 박사는 한국인 물리학자 중 노벨상에 가장 근접했다는 평가를 받는 인물입니다. 화학공학으로 시작해 물리학으로 전향한 그는 유학 시절 탁월한 재능을 인정받아 세계적인 연구소에서 수많은 업적을 남겼습니다. 비록 40대 초반이라는 젊은 나이에 안타까운 사고로 생을 마감했지만, 그가 남긴 학문적 유산은 여전히 후대 과학자들에게 큰 영감을 주고 있습니다. 그의 삶은 단순한 천재성을 넘어, 진리를 향한 열정과 헌신이 무엇인지를 보여주는 상징과도 같습니다. 이러한 위대한 선구자의 발자취는 다음 세대의 꿈을 키우는 밑거름이 됩니다. 수학의 세계에는 '빅 매스(Big Math)'라는 화두가 존재합니다. 이는 단순히 논문을 쓰기 위한 지엽적인 연구가 아니라, 학문의 근본적인 흐름을 바꾸는 거대한 주제에 도전하는 정신을 의미합니다. 20세기 최고의 수학적 기획이라 불리는 '랭글랜즈 프로그램'은 수많은 수학자에게 영감을 주었으며, 이를 통해 수학의 여러 분야가 하나로 연결되는 놀라운 경험을 선사했습니다. 방황하던 시기에 만난 이러한 거대한 비전은 한 개인의 인생을 수학자의 길로 이끄는 강력한 이정표가 됩니다. 큰 꿈을 품고 본질을 꿰뚫는 연구에 매진하는 태도는 모든 학문의 지향점입니다. 한국 수학계의 거목인 이임학 교수와 그의 제자 임덕상 교수의 이야기는 역경을 이겨낸 학문적 의지를 잘 보여줍니다. 전쟁과 가난이라는 혹독한 환경 속에서도 주경야독하며 학업을 이어간 이들은 짧은 유학 기간에도 불구하고 세계적인 학문적 성취를 이루어냈습니다. 특히 대수학 분야에서 이들이 남긴 족적은 한국 수학의 위상을 높이는 데 결정적인 역할을 했습니다. 스승의 가르침이 제자에게 이어지고, 그 제자가 다시 세계적인 학자로 성장하는 과정은 학문의 계보가 어떻게 형성되는지를 보여주는 감동적인 사례입니다. 현대 수학의 주요 분야인 대수기하학은 기하학적 대상을 대수적인 방법으로 분석하는 학문입니다. 이는 마치 칸딘스키나 몬드리안 같은 추상 화가들이 사물의 외형 너머에 숨겨진 본질적인 구조를 탐색하는 과정과 닮아 있습니다. 미술 작품 속의 점, 선, 면이 이루는 조화는 수학자가 추구하는 구조의 명징성과 궤를 같이합니다. 복잡한 현상 속에서 명확한 질서를 찾아내려는 노력은 예술과 수학 모두가 공유하는 가치입니다. 이러한 시각으로 세상을 바라볼 때, 우리는 수학이 단순한 계산을 넘어 세상을 이해하는 아름다운 언어임을 깨닫게 됩니다.

박형주

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

수학

[심화 강연] 무엇이 무엇이 똑같을까? 수학으로 바라본 대칭 정복기_by 이승재 / 2024 봄 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다' 1강 심화 | 1강

군론은 현대 수학의 시작을 알리는 중요한 학문으로, 단순히 대칭적인 상태를 관찰하는 것을 넘어 능동적인 '변환'을 연구하는 분야입니다. 정삼각형이나 정사각형과 같은 도형을 회전시키거나 반사시키는 움직임들을 모아놓은 것이 바로 군의 기초가 됩니다. 예를 들어 정삼각형은 여섯 가지의 대칭 변환을 가지며, 이러한 변환들을 하나의 집합으로 묶어 그들 사이의 관계를 분석합니다. 이는 대상을 고정된 상태로 보는 것이 아니라, 변화 가능성을 체계적으로 정리하여 수학적 구조를 파악하려는 시도라고 할 수 있습니다. 단순한 집합과 군을 구분 짓는 결정적인 요소는 바로 '이항 연산'의 존재입니다. 군은 원소들을 모아놓은 집합에 더해, 두 원소를 결합하여 새로운 결과를 만들어내는 이항 연산이 정의되어야 합니다. 삼각형의 대칭 변환을 예로 들면, 120도 회전시킨 후 다시 반사 대칭을 수행하는 연속적인 동작 자체가 하나의 연산이 됩니다. 이러한 연산의 결과가 항상 기존의 대칭 변환 범위 안에 머물러야 한다는 점이 군의 핵심적인 특징입니다. 즉, 군은 원소들 사이의 상호작용과 그 규칙성을 탐구하는 역동적인 수학적 체계라고 정의할 수 있습니다. 수학적으로 군이 성립하기 위해서는 네 가지 필수 조건을 만족해야 합니다. 첫째는 연산 결과가 집합 내에 머무는 '닫힘성'이며, 둘째는 연산 순서의 우선순위가 결과에 영향을 주지 않는 '결합 법칙'입니다. 셋째는 어떤 원소와 연산해도 자기 자신이 나오게 하는 '항등원'이 존재해야 하며, 마지막으로 모든 원소는 자신을 항등원으로 되돌릴 수 있는 '역원'을 가져야 합니다. 정수 집합에서 덧셈 연산은 이 네 조건을 모두 만족하여 군을 이루지만, 곱셈 연산은 역원이 정수 범위 내에 존재하지 않아 군이 될 수 없습니다. 이러한 엄밀한 조건들이 군론의 논리적 토대를 형성합니다. 군론의 세계에서 '단순군'은 자연수의 소수와 같은 역할을 합니다. 더 이상 정규 부분군으로 쪼개지지 않는 가장 기본적인 단위이기 때문입니다. 현대 수학의 거대한 업적 중 하나인 '유한 단순군의 분류'는 세상에 존재하는 모든 유한 단순군을 몇 가지 유형으로 정리한 작업입니다. 이 과정에서 한국의 위대한 수학자 이임학 교수님은 자신의 이름을 딴 '이임학 군(Ree Group)'을 발견하며 학계에 큰 족적을 남기셨습니다. 이는 복잡한 대칭 구조를 근본적인 원소들로 분해하여 이해하려는 수학자들의 끈질긴 노력이 결실을 본 사례라 할 수 있습니다. 유한 단순군의 분류가 완료되었다고 해서 군론의 연구가 끝난 것은 아닙니다. 화학의 주기율표가 완성된 것이 곧 화학의 끝이 아니듯, 분류된 군들을 조합하여 어떤 새로운 구조를 만들 수 있는지는 여전히 중요한 과제로 남아 있습니다. 오늘날 군론은 물리학, 통계학은 물론 인공지능과 빅데이터 분석의 핵심 도구인 행렬 연산 등 다양한 분야에서 응용되고 있습니다. 대칭의 아름다움 속에 숨겨진 진리를 탐구하는 이 학문은 마커스 듀 사토이의 '대칭'이나 이안 스튜어트의 '왜 아름다움은 진리인가'와 같은 저술을 통해 대중에게도 그 깊은 매력을 전달하고 있습니다.

이승재

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

수학

[2024 봄 카오스강연] 현실 자각 제대로 한 카오스 수학자 3인방

많은 학생이 수학을 단순히 시험을 위한 도구로 여기며, 그 과정에서 느끼는 즐거움보다는 막막함을 먼저 경험하곤 합니다. 강연 현장에서 만난 학생들의 솔직한 고백은 수학을 가르치는 교수자들에게 큰 충격과 반성을 안겨주었습니다. 우리가 당연하게 여겼던 수학의 아름다움과 유용함이 학습자들에게는 높은 벽으로 다가왔던 것입니다. 이는 단순히 지식의 전달 문제를 넘어, 수학이라는 학문이 대중과 소통하는 방식에 근본적인 변화가 필요함을 시사합니다. 수학은 본래 정지된 상태를 넘어 움직이는 세상을 설명하기 위해 탄생한 언어입니다. 17세기 이전의 수학이 고정된 도형에 집중했다면, 미적분은 천체의 움직임과 같은 역동적인 변화를 다루기 위한 필연적인 결과였습니다. 하지만 오늘날의 교육은 이러한 맥락을 생략한 채 기계적인 문제 풀이에만 치중하는 경향이 있습니다. 수학의 본질적인 가치를 전달해야 할 책임은 학습자가 아닌 교수자에게 있으며, 서술 방식의 변화를 통해 수학의 흥미로운 이면을 보여주어야 합니다. 대중에게 다가가는 수학 콘텐츠는 내용만큼이나 '포장'이 중요합니다. 군론이나 대수기하와 같은 난해한 전문 용어는 시작도 하기 전에 대중의 마음을 닫게 만드는 요인이 됩니다. 전문 용어를 직접 노출하기보다는 그 안에 담긴 핵심적인 아이디어를 일상적인 언어로 풀어내는 지혜가 필요합니다. 특히 온라인 중심의 콘텐츠 소비 환경에서는 짧은 요약 콘텐츠만으로도 충분한 재미를 느낄 수 있도록 구성하여, 대중이 스스로 전체 내용을 찾아보게 만드는 동기 부여가 핵심입니다. 현대 수학은 이미 완성된 학문이 아니라, 여전히 우리가 모르는 미지의 영역을 탐구하는 역동적인 분야입니다. 수백 년 동안 해결되지 않았던 난제를 풀기 위해 고군분투했던 수학자들의 이야기는 그 자체로 한 편의 드라마와 같습니다. 각자의 삶에서 나름의 싸움을 이어가는 대중에게, 수학자들의 인간적인 고뇌와 투쟁의 과정을 공유하는 것은 깊은 공감을 불러일으킬 수 있습니다. '인간의 얼굴을 한 수학'은 차가운 수식 너머의 따뜻한 생명력을 전달하는 통로가 될 것입니다. 수학을 이해한다는 것은 세상을 바라보는 해상도를 높이는 일과 같습니다. 인공지능과 같은 첨단 기술의 근간에도 수학적 원리가 깊이 뿌리내리고 있으며, 이를 깨닫는 순간 수학은 비로소 '맛있는' 학문으로 다가옵니다. 과학이 특정 집단의 전유물이 아닌 사회 전체의 공유 가치가 될 때, 학문 자체의 발전과 생존도 보장될 수 있습니다. 더 많은 사람이 수학에 대한 두려움을 허물고 그 즐거움을 함께 나누는 세상은 우리 모두의 삶을 더욱 윤택하게 만들어 줄 것입니다.

김연응, 박형주, 이승재

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

수학

[2024 봄 카오스강연] 수학 좋아해요? 아주대 학생에게 물어보았습니다!

현대 수학의 심오한 세계를 대중에게 전달하려는 시도는 전문가와 학습자 사이의 인식 차이를 확인하는 것에서 시작됩니다. 교수님들은 통계학이나 선형대수학 같은 기초 학문에 대해 학생들이 어느 정도 지식을 갖추고 있을 것이라 기대하시지만, 실제 현장의 목소리는 조금 다릅니다. 자발적으로 관련 과목을 선택한 학생들조차 현대 수학의 복잡한 이론 앞에서는 막막함을 느끼는 경우가 많습니다. 따라서 대중 강연 콘텐츠의 핵심은 단순히 지식을 전달하는 것을 넘어, 수학이 우리 삶과 어떻게 연결되는지 설득력 있게 제시하는 데 있습니다. 대학 강의실에서 만난 학생들의 전공과 수학에 대한 태도는 매우 다양합니다. 수학의 중요성을 인지하고 흥미를 느끼는 학생들도 존재하지만, 상당수는 전공 필수라는 의무감 때문에 학업을 이어가고 있습니다. 특히 고등학교 시절의 과도한 학습량과 대학 진학 후 마주하는 새로운 즐거움들은 수학과의 거리를 더욱 멀어지게 만드는 요인이 되기도 합니다. 수학을 공부하는 기쁨이 단순한 과제 해결의 고통으로 치부되는 현실 속에서, 학생들이 진정으로 즐길 수 있는 수학적 유희가 무엇인지 고민하는 과정이 반드시 필요합니다. 수학 용어에 대한 낯섦은 대중화의 가장 큰 걸림돌 중 하나입니다. 대수기하학이나 타원곡선, 대수위상학과 같은 용어들은 전공자가 아닌 이들에게는 마치 외계어처럼 들리기도 합니다. 심지어 익숙해 보이는 용어조차 그 본질적인 의미를 오해하는 경우가 많습니다. 이러한 인식의 차이는 수학적 개념이 대중에게 도달하는 과정에서 발생하는 전형적인 오류를 보여줍니다. 따라서 전문적인 개념을 대중이 이해할 수 있는 방식으로 가공하는 과정은 수학 콘텐츠 제작의 필수적인 단계라고 할 수 있습니다. 미분과 같은 기초적인 개념조차 시험을 위한 도구로만 소비될 뿐, 그 실질적인 의미를 체감하는 학생은 드뭅니다. 자동차 속도계의 수치가 미분의 결괏값이라는 사실을 직관적으로 받아들이지 못하는 현실은 수식 위주 교육의 한계를 여실히 드러냅니다. 대중이 수학 콘텐츠에 기대하는 것은 단순한 지식의 나열이 아닙니다. 일상 속의 사례를 통해 수학적 원리를 발견하고, 그 과정에서 지적인 즐거움을 느낄 수 있는 구성이 시청자의 관심을 끌어모으고 수학에 대한 거부감을 줄이는 결정적인 역할을 하게 됩니다. 수학을 포기하게 되는 과정은 개인마다 다르지만, 공통적으로는 이해하기 어려운 설명과 학습 동기의 부재가 자리 잡고 있습니다. 이공계 학생들조차 왜 배우는지 모른 채 억지로 공부하는 경우가 많으며, 교수님의 설명이 이해되지 않아 외부 영상 매체를 찾아보는 것이 일상이 되었습니다. 결국 수학 대중화의 성공은 수포자가 생기지 않도록 처음부터 친절하게 길을 안내해 주는 콘텐츠의 유무에 달려 있습니다. 누구나 수학의 아름다움을 발견할 수 있도록 돕는 세심한 접근이 현대 수학 교육의 새로운 지향점이 되어야 합니다.

김연응, 박형주, 이승재

카오스재단2024 카오스강연 '세상에 나쁜 수학은 없다'

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[질문Q] 수포자가 되지 않는 방법은? | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 9강 | 수학의 대통일 이론 랭랜즈 프로그램에 대하여

수학 교육 현장에서 '수포자'라는 단어가 유행처럼 번지는 현실은 매우 안타까운 일입니다. 이는 학생들이 수학을 이해하지 못해서라기보다, 비정상적으로 꼬여 있는 문제나 지엽적인 기술만을 강조하는 교육 방식에 기인한 측면이 큽니다. 수학을 거대한 틀에서 바라보지 못하게 하고 상상력을 제한하는 현재의 입시 중심 교육은 수학을 즐거운 탐구가 아닌 고통스러운 노동으로 변질시킵니다. 양적인 학습보다는 수학적 의미를 되새기고 흥미를 느낄 수 있는 동기 부여의 시간이 절실합니다. 수학을 연구하는 과정에서 겪는 막막함은 비단 학생들만의 고민이 아닙니다. 세계적인 수학자들조차 자신의 재능을 의심하거나 독창적인 연구를 해낼 수 있을지 고뇌하는 순간을 마주하곤 합니다. 중요한 것은 이러한 어려움 속에서도 자신이 가치 있다고 믿는 문제를 향해 꾸준히 나아가는 태도입니다. 수학은 단기적인 성과보다 장기적인 흥미와 즐거움이 더 큰 힘을 발휘하는 학문입니다. 스스로에 대한 확신을 가지고 단계를 넘어서다 보면 결국 자신만의 가치 있는 답을 찾게 될 것입니다. 현대 수학의 거대한 흐름 중 하나인 랭랜즈 프로그램은 서로 다른 수학 분야들을 하나의 체계로 통합하려는 원대한 시도입니다. 지난 수십 년간 수학은 정수론적 문제를 해결하기 위해 해석학이나 기하학의 도구를 동원하는 등 분야 간의 경계가 점점 옅어지는 방향으로 발전해 왔습니다. 이러한 통합이 완벽히 이루어지기까지는 수백 년의 시간이 더 걸릴지도 모르지만, 복잡하게 얽힌 수학적 구조를 보다 근본적으로 이해하려는 노력은 지금 이 순간에도 끊임없이 이어지고 있습니다. 수학의 여러 분야가 서로의 도구를 공유하며 융합되는 추세임에도 불구하고, 각 분야 고유의 정체성은 여전히 중요한 의미를 지닙니다. 어떤 도구를 사용하느냐보다 궁극적으로 무엇을 알고 싶어 하는가에 따라 수학자의 정체성이 결정되기 때문입니다. 마치 하나의 국가 안에서도 지역마다 고유한 특색이 살아있듯, 수학 또한 거대한 통합의 길을 지향하면서도 각 세부 분야만의 독특한 시각과 해석 방식을 유지합니다. 이러한 다양성은 수학이라는 학문을 더욱 풍요롭고 거대하게 만드는 원동력이 됩니다. 수학적 지식을 대중에게 전달하는 방식에 있어서도 새로운 변화가 필요합니다. 단순하고 얕은 수준의 정보 전달을 넘어, 조금 더 깊이 있고 본질적인 수학의 아름다움을 다루는 고급 강연이 많아져야 합니다. 랭랜즈 프로그램이나 리만 가설과 같은 거대한 난제들이 서로 어떻게 연결되어 있는지 아직 명확히 밝혀지지 않은 부분들이 많습니다. 이러한 미지의 영역을 탐구하려는 호기심을 자극하고, 영상과 같은 효과적인 매체를 통해 수학의 가치를 공유하는 일은 미래 수학 발전의 밑거름이 될 것입니다.

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[질토과+짧강] 👨‍💻군과 랭랜즈 프로그램 by 정경훈｜2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 9강

랭랜즈 프로그램은 단순한 수학적 추측이나 개별적인 문제를 넘어선 '원대한 기획'이라 할 수 있습니다. 이는 마치 컴퓨터 프로그램이 여러 하위 프로그램으로 구성되어 최종 결과를 도출하듯, 수학의 여러 분야를 유기적으로 연결하는 거대한 복합체입니다. 페르마의 마지막 정리조차 이 거대한 프로그램의 첫 번째 단계에 해당할 정도로 그 규모가 방대합니다. 수학자들은 이를 통해 흩어져 있던 문제들을 일관된 방향으로 정렬하고, 우리가 나아가야 할 길을 설득력 있게 제시받습니다. 수학사에는 랭랜즈 프로그램 외에도 다양한 '프로그램'이 존재해 왔습니다. 기하학을 군의 관점에서 분류하려 했던 에를랑겐 프로그램이나, 수학의 기초를 공리화하려 했던 힐베르트 프로그램이 대표적입니다. 최근에는 3차원 기하학의 분류를 다루는 서스턴의 프로그램이나 대수 방정식의 해 집합을 연구하는 모리 프로그램도 활발히 진행되고 있습니다. 이러한 기획들은 수학적 대상을 체계적으로 분류하고 연구하는 패러다임의 변화를 이끌며 학문의 발전을 견인해 왔습니다. 수학에서 '군'은 대칭성을 표현하는 언어입니다. 예를 들어 회전판을 특정 각도만큼 돌렸을 때 원래와 같은 모습을 유지한다면, 이는 회전에 대한 대칭성을 가진다고 말합니다. 이러한 대칭성은 단순히 도형의 성질에 그치지 않고 정수론의 나머지 개념과도 깊게 연결됩니다. 수학자들은 군이라는 도구를 통해 복잡한 대칭 구조를 엄밀하게 정의하고, 이를 바탕으로 수의 세계와 기하학적 세계 사이의 보이지 않는 연결 고리를 찾아내어 학문적 지평을 넓혀갑니다. 대칭성의 개념은 수학을 넘어 물리학과 화학 등 자연과학 전반에서 핵심적인 역할을 수행합니다. 에미 뇌터의 정리에 따르면 물리계의 대칭성은 에너지 보존 법칙과 같은 보존 법칙과 직결됩니다. 화학에서는 분자 구조의 대칭성에 따라 물질의 극성이나 결정의 성질이 결정되기도 합니다. 심지어 방정식 자체에도 대칭성이 존재하며, 이를 찾아내는 과정은 현대 과학의 가장 중요한 방법론 중 하나입니다. 이처럼 대칭은 자연의 근본 원리를 이해하는 열쇠가 됩니다. 페르마의 소정리는 대칭성을 이용해 정수론의 문제를 해결하는 대표적인 사례입니다. 소수와 거듭제곱 사이의 관계를 다루는 이 정리는 언뜻 복잡해 보이지만, 회전판의 색칠 문제를 통한 대칭성 분석으로 명쾌하게 증명될 수 있습니다. 특정 색 조합을 회전시켰을 때 나타나는 중복성을 군의 관점에서 분류하면, 복잡한 계산 없이도 수의 성질을 파악할 수 있습니다. 이는 추상적인 수학 정리가 시각적이고 직관적인 대칭 구조와 어떻게 맞닿아 있는지를 잘 보여주는 대목입니다. 현대 물리학의 표준 모형은 군의 표현론을 극대화하여 활용한 결과물입니다. 물리학자 머리 겔만은 특정 군의 표현을 연구하던 중 쿼크의 존재를 예측하여 노벨 물리학상을 받기도 했습니다. '모든 것은 행렬이다'라는 관점에서 접근하는 표현론은 군의 대칭성을 벡터 공간 위에서 구현하며, 이는 소립자의 성질을 규명하는 결정적인 도구가 됩니다. 현재 과학계는 전자기력, 약력, 강력에 이어 중력까지 통합하는 대통일 이론을 향해 나아가며 새로운 수학적 군의 발견을 기다리고 있습니다. 랭랜즈 프로그램은 수학의 여러 분야를 통합하는 '대통일 이론'으로서의 가능성을 지니고 있습니다. 정수론, 표현론, 대수기하학이 서로 협력하며 방정식의 유전자를 이해하려는 이 여정은 수학의 끝이 아닌 새로운 시작을 의미합니다. 설령 미래에 이 프로그램이 예상과 다른 방향으로 전개되더라도, 그 과정에서 얻은 통찰은 인류의 지적 자산이 될 것입니다. 거대한 질문의 세계를 탐구하는 도전 정신은 수학을 단순한 학문을 넘어 인간 지성의 승리로 이끄는 원동력이 됩니다.

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[질문과 토론의 과학 #19] 📝🤓슬기로운 수학 생활

순수 수학의 연구 목적은 근본적인 호기심에서 출발합니다. 수학자들은 세상을 구성하는 복잡한 대상을 이해하고, 그 이면에 숨겨진 질서를 체계적으로 파악하고자 노력합니다. 현대 사회가 과거보다 훨씬 복잡해짐에 따라 이를 분석하기 위한 수학적 도구 역시 정교해질 수밖에 없습니다. 어려운 문제를 연구하는 진정한 이유는 단순히 난제를 해결하는 데 그치지 않고, 복잡해 보이는 현상을 더 명쾌하고 체계적으로 이해할 수 있는 인식의 지평을 넓히는 데 있습니다. 인류의 지식 기반을 확장하려는 이러한 열망은 수학 연구의 가장 강력한 원동력이 됩니다. 수학 연구의 과정은 늘 순탄하지 않으며 때로는 고통스러운 인고의 시간을 필요로 합니다. 하지만 난관에 부딪혔을 때 잠시 문제를 내려놓고 산책을 하거나 음악을 듣는 등 전혀 다른 활동을 통해 뇌를 환기하는 과정은 매우 중요합니다. 이러한 휴식의 시간은 무의식 속에서 아이디어가 발효되어 예상치 못한 순간에 해결의 실마리를 찾는 계기가 되기도 합니다. 대학원 시절의 고단함을 노래방에서 해소했던 경험처럼, 자신만의 스트레스 관리법을 갖는 것은 장기적인 연구를 지속 가능하게 하는 비결입니다. 현대 수학은 크게 대수학, 기하학, 해석학으로 나뉘지만, 실제 연구에서는 이들의 경계가 점차 흐려지고 있습니다. 대수학이 수와 구조의 관계를 다룬다면, 기하학은 우리가 살아가는 공간과 고차원적인 형태를 탐구하며, 해석학은 미적분과 연속성의 원리를 연구합니다. 랭글랜즈 프로그램과 같은 거대 프로젝트는 서로 무관해 보이던 이 분야들을 하나로 통합하여 새로운 통찰을 제공합니다. 수학자들은 자신의 주 전공 분야에서 깊은 지식을 쌓는 동시에, 다른 분야의 전문가들과 협업하며 지식의 한계를 극복해 나갑니다. 수학 교육에서 특정 분야를 배제하거나 학습 범위를 축소하는 것은 학생들의 인식의 지평을 좁히는 결과를 초래할 수 있습니다. 특히 기하학은 사물의 모양을 인식하고 공간을 파악하는 기초적인 능력을 길러주는 학문으로, 현대 사회에서 그 중요성이 더욱 커지고 있습니다. 방정식을 푸는 대수적 능력만큼이나 공간을 이해하는 기하학적 직관은 세상을 입체적으로 바라보는 데 필수적입니다. 교육 과정이 간소화되면서 학생들이 세상을 보는 시야가 좁아지는 현상은 우려스러운 부분이며, 다양한 분야를 균형 있게 접하는 것이 논리적 사고의 밑거름이 됩니다. 수학은 전문가들만의 전유물이 아니라, 미술이나 음악처럼 누구나 즐길 수 있는 하나의 예술이자 문화입니다. 우리가 클래식 음악을 감상하기 위해 반드시 작곡가가 될 필요가 없듯이, 수학의 아름다움을 느끼기 위해 모든 수식을 완벽히 이해할 필요는 없습니다. 좋은 교양 서적이나 강연을 통해 수학적 사고의 흐름을 따라가는 것만으로도 충분한 즐거움을 얻을 수 있습니다. 수학에 대한 막연한 두려움을 버리고 호기심을 가지고 접근한다면, 일상 속에서도 수학이 선사하는 지적인 풍요로움을 만끽할 수 있을 것입니다.

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[명강리뷰] 수학의 대통일 이론 랭랜즈 프로그램에 대하여 _ by신석우｜2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 9강

로버트 랭랜즈는 수학의 서로 다른 분야를 하나로 엮는 거대한 지도를 제시한 인물입니다. 그는 1967년 수학의 대통일 이론이라 불리는 '랭랜즈 프로그램'의 초석을 마련하며 현대 수학의 흐름을 바꾸어 놓았습니다. 물리학에서 여러 힘을 통합하려는 시도가 있듯이, 수학에서도 방정식, 함수, 수의 성질이라는 이질적인 영역들을 하나의 체계 안에서 이해하려는 노력이 바로 이 프로그램의 핵심입니다. 이는 단순히 이론적인 통합을 넘어, 기존의 난제들을 해결할 수 있는 강력한 도구를 제공하며 수학의 지평을 넓혔다는 평가를 받습니다. 정수론의 핵심 과제는 방정식의 정수해나 유리수해를 찾는 것이지만, 이는 매우 어려운 일입니다. 수학자들은 이를 해결하기 위해 '합동식'이라는 개념을 도입하여 문제를 단순화합니다. 소수 p로 나눈 나머지만을 따져 해의 개수를 세는 방식인데, 이렇게 얻은 데이터는 해당 방정식의 고유한 성질을 담고 있어 '방정식의 유전자'라고 불립니다. 소수마다 달라지는 해의 개수에서 일정한 규칙성을 찾아내고, 이를 통해 원래 방정식이 가진 복잡한 정보를 해독하는 과정은 랭랜즈 프로그램이 세상을 바라보는 기초적인 시각이 됩니다. 이러한 시도는 가우스의 '이차 잉여 상호 법칙'에서 그 뿌리를 찾을 수 있습니다. 가우스는 특정 방정식의 해가 존재하는지 여부가 소수를 특정 숫자로 나눈 나머지에 의해 결정된다는 놀라운 규칙을 발견했습니다. 이후 힐베르트는 이를 더 일반적인 방정식으로 확장하고자 하는 문제를 제안했고, 이는 20세기 수학자들에게 큰 화두가 되었습니다. 랭랜즈는 여기서 한 걸음 더 나아가, 대칭성이 풍부한 함수인 '보형 형식'에서 추출한 유전자가 모든 방정식의 유전자를 설명할 수 있다는 대담한 가설을 세우며 현대적인 상호 법칙의 틀을 완성했습니다. 1950년대 일본의 수학자 타니야마와 시무라는 타원 곡선과 보형 형식 사이의 신비로운 연결 고리를 추측했습니다. 전혀 다른 수학적 대상인 타원 곡선에서 추출한 수열과 보형 형식의 계수가 모든 소수에 대해 완벽하게 맞아떨어진다는 것입니다. 이는 기하학적 대상과 해석학적 함수가 본질적으로 같은 정보를 공유하고 있음을 의미합니다. 이 추측은 훗날 랭랜즈 프로그램의 중요한 일부로 편입되었으며, 서로 상관없어 보이던 수학의 두 영역이 하나의 체계 안에서 통합될 수 있음을 보여주는 결정적인 사례가 되었습니다. 앤드루 와일즈는 타니야마-시무라 추측을 증명함으로써 수백 년간 풀리지 않았던 '페르마의 마지막 정리'를 정복했습니다. 만약 페르마의 방정식에 해가 존재한다면 매우 이상한 성질을 가진 타원 곡선이 만들어지는데, 보형 형식의 세계에는 그런 성질을 가진 대상이 존재할 수 없다는 논리를 펼친 것입니다. 이는 한 분야에서 해결하기 어려운 문제를 다른 분야의 지식을 빌려와 해결하는 랭랜즈 프로그램의 전형적인 전략이 거둔 승리라고 할 수 있습니다. 이로써 수학적 대상들 사이의 숨은 연관 관계가 난제 해결의 열쇠임이 증명되었습니다. 오늘날 랭랜즈 프로그램은 멈추지 않고 계속해서 진화하고 있습니다. 특히 독일의 젊은 수학자 페터 숄체는 새로운 기하학적 개념을 도입하여 랭랜즈 프로그램에 획기적인 접근법을 제시했습니다. 그는 상호 법칙을 이해하는 새로운 지평을 열었으며, 이러한 공로로 필즈상 수상자로 거론되는 등 현대 수학의 최전선에서 활약하고 있습니다. 랭랜즈가 처음 편지를 통해 제안했던 아이디어들은 이제 수많은 수학자의 연구를 통해 더욱 정교해지고 있으며, 수학의 여러 영역을 잇는 거대한 네트워크로 확장되어 가고 있습니다. 결론적으로 랭랜즈 프로그램은 수학의 대통일을 향한 원대한 여정입니다. 방정식, 대칭 함수, 수의 체계라는 세 가지 세상이 유전자라는 공통 언어를 통해 소통하며, 이를 통해 우리는 수학이라는 거대한 우주를 보다 통합적인 시각으로 바라볼 수 있게 되었습니다. 비록 모든 문제가 해결된 것은 아니지만, 이 강력한 이론적 토대는 앞으로도 수많은 난제를 해결할 실마리를 제공할 것입니다. 수학자들은 랭랜즈가 구축한 이 아름다운 체계 위에서 새로운 발견의 기쁨을 누리며, 지식의 경계를 끊임없이 넓혀 나갈 것입니다.

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[명강리뷰] 세상을 바꾼 알고리즘 - 알파고와 블록체인을 넘어 미래로 _ by이준엽｜2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 8강

현대 사회를 움직이는 알고리즘의 뿌리를 거슬러 올라가면 그 중심에는 항상 수학이 있었습니다. 라이프니츠의 이진법부터 찰스 배비지의 해석기관, 그리고 현대 컴퓨터의 이론적 토대를 마련한 앨런 튜링에 이르기까지 수학적 사고는 기계적 계산을 가능하게 하는 핵심 동력이었습니다. 특히 튜링 머신은 단순한 연산의 반복만으로도 복잡한 문제를 해결할 수 있음을 증명하며 알고리즘의 시대를 열었습니다. 이러한 역사는 알고리즘이 단순히 컴퓨터 공학의 전유물이 아니라, 수학자들이 설계한 논리적 세계의 구현체임을 잘 보여줍니다. 오늘날 계산 기술은 자연과학과 공학의 한계를 극복하는 제3의 과학적 방법론으로 자리 잡았습니다. 과거에는 이론을 세우고 실험으로 검증하는 두 축이 과학을 이끌었지만, 이제는 계산이 그 사이를 잇는 중요한 매개 역할을 수행합니다. 예를 들어 비행기 설계나 원자로 건설처럼 실제 실험이 어렵거나 비용이 많이 드는 분야에서 컴퓨터 시뮬레이션은 필수적입니다. 이는 단순한 비용 절감을 넘어, 복잡한 생명 현상의 기전을 파악하거나 수많은 가설 중 최적의 모델을 찾아내는 등 이론과 실험의 간극을 메우는 혁신적인 도구가 되고 있습니다. 블록체인 기술은 수학적 기법이 어떻게 사회적 신뢰를 구축할 수 있는지를 보여주는 대표적인 사례입니다. 해시 함수와 공개키 암호화 같은 수학적 장치들은 거래의 투명성과 보안을 동시에 보장합니다. 복잡한 수학 문제를 풀어야만 블록을 생성할 수 있게 설계된 구조는 중앙 집중적인 관리자 없이도 다수의 참여자가 데이터의 무결성을 신뢰할 수 있게 만듭니다. 결국 블록체인의 핵심은 기술적 연결을 넘어, 수학적 창의성을 바탕으로 비잔틴 문제와 같은 논리적 난제를 해결하고 새로운 형태의 가치 교환 체계를 만들어낸 데 있습니다. 인공지능의 발전 과정에서도 수학적 모델의 변화는 결정적인 역할을 했습니다. 과거의 전문가 시스템이 인간이 정해준 규칙에 따라 판단하는 지식 기반 시스템이었다면, 현대의 인공 신경망은 데이터를 통해 스스로 학습하는 데이터 기반 시스템입니다. 뇌의 신경세포 구조를 모방한 가상의 신경망은 입력값에 가중치를 부여하고 이를 조정하며 최적의 답을 찾아갑니다. 비록 딥러닝이 놀라운 성과를 내고 있지만, 그 내부에서 정확히 어떤 수학적 원리로 문제가 풀리는지에 대해서는 여전히 많은 부분이 미지의 영역으로 남아 있어 수학자들의 연구가 절실합니다. 미래의 알고리즘은 튜링 머신의 한계를 넘어 양자 알고리즘이나 영지식 증명과 같은 새로운 영역으로 확장될 것입니다. 현재 우리가 사용하는 딥러닝이나 병렬 알고리즘조차도 수학적으로는 효율성이나 데이터의 필요량에 대한 명확한 가이드라인이 부족한 상태입니다. P-NP 문제와 같은 근본적인 복잡성 이론부터 인공 신경망의 수학적 토대 구축까지, 앞으로 해결해야 할 과제는 산적해 있습니다. 결국 새로운 세계를 위한 새로운 알고리즘을 만드는 힘은 정해진 공식을 넘어서는 수학적 상상력에서 나오며, 이는 우리 삶을 다시 한번 혁명적으로 바꿀 것입니다.

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[강연] 도대체 '계산'이란 무엇인가? '계산'의 놀라운 정의 ㅣ 2021 마스터 클래스 '수학과 계산' 3강 | 3강

계산이란 단순히 숫자를 더하고 빼는 산술적 행위를 넘어, 정해진 논리적 규칙에 따라 정보를 변환하고 구조화하는 근본적인 과정입니다. 우리는 일상 속에서 무의식적으로 수많은 계산을 수행하며 살아가지만, 수학적 관점에서 계산의 본질을 깊이 들여다보면 그것은 우주의 질서를 이해하고 체계화하는 고도의 지적 활동임을 알 수 있습니다. 이러한 과정은 현대 문명을 지탱하는 기술적 토대가 되며, 복잡한 문제를 해결하는 가장 강력한 도구로 작용합니다. 과거 오일러와 같은 수학자들이 정립한 정수론의 원리들은 오늘날 디지털 세상의 보안을 책임지는 공개키 암호의 핵심이 되었습니다. 순수 수학적 호기심에서 시작된 정수론의 정리가 수백 년이 지난 지금, 전 세계의 금융 거래와 개인 정보를 보호하는 실용적인 기술로 변모한 것입니다. 이는 추상적인 수학적 사고가 어떻게 현실의 구체적인 문제를 해결하는 계산적 도구로 진화할 수 있는지를 보여주는 완벽한 사례라고 할 수 있습니다. 알고리즘은 계산을 수행하기 위한 명확한 절차이자 약속입니다. 어떤 입력값이 주어졌을 때 원하는 결과에 도달하기까지의 과정을 단계별로 정의한 이 설계도는, 현대 컴퓨터 과학의 심장과도 같습니다. 효율적인 알고리즘을 찾는 과정은 단순히 속도를 높이는 것을 넘어, 문제의 본질을 꿰뚫는 통찰력을 요구합니다. 수학자들은 가장 간결하면서도 강력한 논리적 경로를 찾아냄으로써, 불가능해 보이던 계산의 영역을 가능의 영역으로 확장해 왔습니다. 하지만 모든 문제가 쉽게 계산되는 것은 아닙니다. 계산 복잡도 이론은 어떤 문제는 해결하는 데 우주의 수명보다 긴 시간이 걸릴 수 있음을 시사합니다. 이러한 한계는 우리에게 효율성의 중요성을 일깨워주는 동시에, 계산 가능한 것과 그렇지 않은 것 사이의 경계를 탐구하게 만듭니다. 우리는 이러한 제약 안에서 최적의 해답을 찾기 위해 끊임없이 노력하며, 이는 수학적 사고가 직면한 가장 흥미로운 도전 중 하나로 남아 있습니다. 계산의 기초는 엄밀한 수학적 논리 체계 위에 세워져 있습니다. 기호 논리학과 집합론은 계산이 이루어지는 언어를 제공하며, 이를 통해 우리는 모호함 없이 사고를 전개할 수 있습니다. 형식적인 체계 안에서 증명과 계산은 서로 긴밀하게 연결되어 있으며, 하나의 참인 명제를 도출해내는 과정 자체가 정교한 계산의 연속이라고 볼 수 있습니다. 이러한 논리적 엄밀함은 계산 결과에 대한 신뢰성을 보장하는 가장 강력한 근거가 됩니다. 인공지능 기술의 비약적인 발전은 계산에 대한 우리의 인식을 근본적으로 바꾸어 놓았습니다. 과거에는 인간만의 고유한 영역이라 여겨졌던 추론과 창의적 판단조차, 이제는 거대한 데이터와 복잡한 수치 계산의 조합으로 구현되고 있습니다. 이는 '생각한다는 것'과 '계산한다는 것' 사이의 경계를 모호하게 만들며, 지능의 본질에 대한 새로운 질문을 던집니다. 기계가 수행하는 방대한 계산은 인간의 인지 능력을 확장하는 새로운 지평을 열어주고 있습니다. 결국 계산이란 인간이 세상을 이해하고 통제하기 위해 만들어낸 가장 정교한 언어입니다. 수학적 사고를 통해 다듬어진 계산의 원리들은 과학 기술의 발전뿐만 아니라, 우리 사회의 의사결정 구조와 철학적 사유에도 깊은 영향을 미치고 있습니다. 미래의 계산은 더욱 복잡하고 정교해지겠지만, 그 중심에는 여전히 논리적 일관성과 진리를 향한 인간의 탐구 정신이 자리 잡고 있을 것입니다. 우리는 계산을 통해 미지의 세계를 정복해 나갈 것입니다.

김민형

카오스재단마스터클래스

수학

[카오스 술술과학] 도대체 무한이란 무엇인가?(2)-2: 무한의 탐구

게오르크 칸토어는 무한의 신비를 풀기 위해 '일대일 대응'이라는 혁신적인 방법을 제시했습니다. 이는 두 집합의 원소를 하나씩 짝지어 크기를 비교하는 방식입니다. 예를 들어, 좌석 수와 관객 수를 비교할 때 직접 숫자를 세지 않고 관객을 자리에 모두 앉혀보는 것과 같습니다. 칸토어는 이 원리를 무한 집합에 적용하여, 자연수 집합과 그 부분집합인 짝수나 홀수 집합의 크기가 같다는 사실을 밝혀냈습니다. 이는 무한의 세계에서는 전체와 부분이 같을 수 있다는 갈릴레이의 역설을 해결한 중요한 열쇠가 되었습니다. 유리수 집합은 자연수보다 훨씬 촘촘하고 많아 보이지만, 칸토어는 유리수 역시 셀 수 있는 무한임을 증명했습니다. 그는 분수들을 표 형태로 나열한 뒤, 대각선 방향으로 순서를 매겨 모든 유리수를 빠짐없이 열거하는 천재적인 방법을 고안했습니다. 이 과정을 통해 유리수 집합이 자연수 집합과 일대일 대응이 가능하다는 것이 입증되었습니다. 결국 유리수 호텔의 무한한 손님들도 1층짜리 자연수 호텔로 모두 옮길 수 있다는 결론에 도달하게 됩니다. 칸토어는 이처럼 셀 수 있는 가장 작은 무한의 단위를 히브리어 첫 글자를 따서 '알레프 제로'라고 명명했습니다. 하지만 칸토어는 여기서 멈추지 않고 더 큰 무한의 존재를 탐구했습니다. 그는 0과 1 사이의 실수가 자연수보다 더 큰 무한임을 '대각선 논법'을 통해 증명했습니다. 만약 실수를 모두 나열했다고 가정하더라도, 각 숫자의 특정 자릿수를 변형하여 목록에 없는 새로운 실수를 언제나 만들어낼 수 있다는 논리입니다. 이는 실수가 자연수와 일대일 대응이 될 수 없음을 의미하며, 셀 수 없는 무한인 '알레프 원'의 존재를 세상에 알렸습니다. 무한에도 층위가 있으며, 우리가 상상하는 것보다 훨씬 거대한 무한이 존재한다는 사실이 수학적으로 밝혀진 것입니다. 알레프 제로와 알레프 원의 차이는 건축 방식의 차이와도 같습니다. 알레프 제로 호텔은 객실 사이에 유한한 방이 존재하지만, 알레프 원 호텔은 어떤 두 객실 사이에도 무한한 방이 존재하는 '연속'의 개념을 담고 있습니다. 힐베르트의 역설에 따르면 무한한 막대로 3차원 공간을 채울 수 있지만, 연속적인 실수의 무한은 그보다 훨씬 거대합니다. 칸토어는 무한을 단순히 끝없는 상태가 아니라, 하나의 완성된 실체인 '실무한'으로 다루었습니다. 이러한 연속 무한의 개념은 수학적 사고의 지평을 우주적 규모로 확장하는 계기가 되었습니다. 칸토어의 연구는 무한을 극한이라는 가상의 개념에서 끌어내어 '초한수'라는 실체적인 수로 정립시켰습니다. 당시 수학계에서 이단아 취급을 받기도 했지만, 그의 이론은 인류가 무한의 실체를 인정하고 체계적으로 다루게 된 결정적인 전환점이 되었습니다. 제논의 역설이 무한을 현실과 대비시키며 발생한 모순이었다면, 칸토어의 초한수는 무한 그 자체로 완결된 새로운 세계를 구축한 진실의 역설입니다. 인간의 이해를 넘어서는 무한의 영역이 존재한다는 사실은 우리에게 지적 경외감과 동시에 탐구의 즐거움을 선사합니다.

카오스재단'도대체'시리즈

물리학

[강연] 2018 필즈상 해설 강연 2일차(KAOS, 고등과학원, 수학동아) _ 김완수, 임선희 교수 | 1편

정수론은 인류가 숫자를 다루기 시작한 고대부터 존재해 온 가장 기초적이면서도 심오한 학문입니다. 기원전 메소포타미아의 점토판에 기록된 피타고라스 정리의 해부터 현대의 복잡한 방정식에 이르기까지, 정수론은 단순한 계산을 넘어 수의 체계 속에 숨겨진 근본적인 질서를 탐구해 왔습니다. 최근의 정수론은 고대의 직관적인 문제에서 벗어나 고도로 추상화된 기하학적 방법론을 도입하며 새로운 국면을 맞이하고 있습니다. 이러한 변화는 우리가 수를 바라보는 방식을 근본적으로 바꾸어 놓았으며, 현대 수학의 가장 역동적인 분야 중 하나로 자리 잡았습니다. 페르마의 마지막 정리는 정수론의 발전을 이끌어온 거대한 동력이었습니다. 350년 동안 수많은 수학자를 괴롭혔던 이 난제는 앤드루 와일즈에 의해 증명되었으며, 그 과정에서 개발된 이론들은 현대 정수론의 새로운 지평을 열었습니다. 2018년 필즈상 수상자인 페터 숄체 역시 16세의 어린 나이에 와일즈의 증명을 접하며 수학적 영감을 얻었습니다. 그는 증명을 이해하기 위해 필요한 배경 지식을 역으로 추적하며 공부했고, 이는 훗날 그가 산술 기하학 분야에서 혁신적인 업적을 남기는 밑거름이 되었습니다. 난제를 해결하려는 의지가 새로운 수학적 세계를 창조한 셈입니다. 현대 정수론의 핵심 도구 중 하나인 p진수는 우리가 흔히 아는 실수의 거리 개념과는 전혀 다른 수 체계입니다. 소수 p를 기준으로 정의되는 이 체계에서는 숫자가 p의 거듭제곱으로 나누어질수록 0에 더 가깝다고 간주합니다. 이러한 비아르키메데스적 절댓값은 정수의 합동 성질을 기하학적인 거리로 변환하여 다룰 수 있게 해줍니다. p진수 세계에서는 모든 삼각형이 이등변 삼각형이 되는 등 기묘한 현상이 일어나지만, 이는 정수론적 문제를 기하학적으로 시각화하고 분석하는 데 결정적인 역할을 합니다. 추상적인 수의 성질이 공간의 언어로 번역되는 순간입니다. 페터 숄체는 '퍼펙토이드 공간'이라는 개념을 도입하여 p진 기하학의 패러다임을 완전히 바꾸어 놓았습니다. 퍼펙토이드 공간은 무한히 많은 변수와 거듭제곱근을 포함하는 복잡한 구조를 가지고 있지만, 이를 통해 p진수 해 공간에서의 미적분학을 가능하게 합니다. 숄체의 이론은 갈로아 표현론과 같은 정수론의 난제들을 해결하는 강력한 도구가 되었으며, 산술 기하학 전반에 걸쳐 혁명적인 변화를 불러일으켰습니다. 그의 연구는 기존의 관점을 재해석하는 수준을 넘어, 수학자들이 미지의 영역을 탐험할 수 있는 정교한 지도를 제공한 것과 다름없습니다. 또 다른 필즈상 수상자인 악샤이 벤카테시는 해석적 정수론과 균질 동역학을 결합하여 독창적인 연구 세계를 구축했습니다. 동역학은 특정 공간 위에서 움직이는 궤도의 패턴을 연구하는 학문으로, 벤카테시는 이를 통해 자연수와 소수의 분포 속에 숨겨진 규칙을 찾아냈습니다. 그는 당구대 위에서 공이 튕기는 궤적이나 휘어진 쌍곡 공간에서의 움직임을 분석하여, 이를 복잡한 L-함수의 성질과 연결시켰습니다. 서로 무관해 보이는 분야들을 하나로 엮어내는 그의 통찰력은 수학적 대상들이 가진 보편적인 연결성을 증명하며 학계에 큰 충격을 주었습니다. 벤카테시의 연구에서 중요한 비중을 차지하는 균질 공간은 격자들의 집합으로 이루어진 고차원적인 구조입니다. 그는 이러한 공간 위에서 궤도가 얼마나 고르게 분포하는지를 연구함으로써, 정수론의 오랜 난제인 L-함수의 하위 볼록성 문제를 해결하는 실마리를 제공했습니다. 이는 북을 쳤을 때 발생하는 소리의 스펙트럼을 분석하여 공간의 기하학적 정보를 알아내는 것과 유사한 원리입니다. 추상적인 대수 구조와 역동적인 움직임이 만나는 지점에서 탄생한 그의 업적은, 현대 수학이 얼마나 다양한 언어로 우주의 질서를 묘사할 수 있는지를 잘 보여줍니다. 수학은 단순히 정답을 찾는 과정이 아니라, 보이지 않는 구조 속에서 아름다움을 발견하는 예술과도 같습니다. 필즈상 수상자들의 업적은 당장의 실용성을 넘어 인류의 지적 지평을 넓히는 데 기여하며, 수천 년 후에는 우리가 당연하게 여기는 상식이 될 것입니다. 수학자들이 느끼는 아름다움은 복잡한 수식 속에 숨겨진 자연스러운 질서와 논리적 완결성에서 비롯됩니다. 끊임없는 질문과 탐구를 통해 미지의 영역을 개척해 나가는 이들의 노력은, 인류가 가진 호기심의 위대함을 증명하며 미래 세대에게 새로운 영감을 불어넣고 있습니다.

김완수, 임선희

카오스재단노벨상/필즈상 해설강연

수학

[강연] 2018 필즈상 해설 강연 1일차(KAOS, 고등과학원, 수학동아) _ 박지훈, 하승열 교수 | 2편

수학은 수천 년의 역사를 지닌 학문이지만, 여전히 우리에게 깊은 경외심과 동시에 막연한 두려움을 안겨줍니다. 세계 최고의 수학적 업적에 수여되는 필즈상은 단순히 개인의 천재성을 기리는 자리가 아니라, 인류가 지성의 한계를 어떻게 극복해왔는지를 보여주는 이정표입니다. 수학을 공부하며 마주하는 난해함은 피할 수 없는 과정이지만, 이를 지속적으로 접하며 익숙해지는 과정 자체가 수학적 사고의 핵심입니다. 부분적인 이해에서 시작해 전체적인 통찰로 나아가는 노력은 수학자뿐만 아니라 우리 모두에게 필요한 태도입니다. 2018년 필즈상 수상자인 코처 비르카는 대수기하학의 난제인 '파노 다양체의 유한성'을 증명하며 수학계에 큰 족적을 남겼습니다. 대수 다양체란 다변수 다항식의 해집합으로 이루어진 기하학적 구조를 의미하는데, 그중에서도 차수가 낮은 특수한 다양체를 파노 다양체라 부릅니다. 코처 비르카는 최소 모델 프로그램이라는 도구를 활용하여, 특정한 조건을 만족하는 파노 다양체의 종류가 유한하다는 사실을 밝혀냈습니다. 이는 복잡한 기하학적 대상들을 체계적으로 분류하고 이해하려는 수학자들의 오랜 꿈에 한 걸음 더 다가간 결과입니다. 수학적 발견은 결코 고립된 천재 한 명의 힘으로 이루어지지 않습니다. 코처 비르카의 업적 역시 델 페초와 지노 파노에서 시작되어 이스콥스키흐, 시게후미 모리 등으로 이어지는 거대한 학문적 흐름 위에 서 있습니다. 수많은 수학자가 쌓아 올린 이론적 토대와 협력의 문화가 있었기에 현대의 난제 해결이 가능했던 것입니다. 전 세계의 학자들이 이메일과 논문을 통해 실시간으로 소통하며 아이디어를 주고받는 개방적인 연구 환경은, 현대 수학이 과거보다 더욱 역동적으로 발전할 수 있는 원동력이 되고 있습니다. 또 다른 수상자인 알레시오 피갈리는 '최적 운송 이론'의 대가로 불립니다. 최적 운송 이론이란 자원을 한 분포에서 다른 분포로 옮길 때 비용을 최소화하는 방법을 연구하는 분야입니다. 18세기 가스파르 몽주가 제기한 모래 더미 옮기기 문제에서 시작된 이 이론은, 현대에 이르러 확률론과 편미분 방정식의 결합을 통해 비약적으로 발전했습니다. 알레시오 피갈리는 몽주-앙페르 방정식의 정칙성 문제를 해결함으로써, 추상적인 수학 이론이 실제 물리적 현상을 설명하는 강력한 도구가 될 수 있음을 입증했습니다. 알레시오 피갈리의 연구는 순수 수학의 영역을 넘어 기상학, 유체 역학, 양자 역학 등 다양한 응용 분야에서 빛을 발하고 있습니다. 대기의 흐름을 설명하는 준지균 방정식을 3차원으로 확장하거나, 기하학적 부등식의 안정성을 증명하는 과정에서 최적 운송 이론은 핵심적인 역할을 수행합니다. 이는 복잡한 자연 현상 이면에 숨겨진 단순하고 아름다운 최적화 원리를 찾아내는 과정이기도 합니다. 수학적 통찰이 어떻게 타 학문과 상호작용하며 인류의 지식 지평을 넓히는지 보여주는 대표적인 사례라 할 수 있습니다. 수학의 본질이 문제 풀이에 있는지, 아니면 새로운 이론을 정립하는 데 있는지에 대한 논의는 끊이지 않습니다. 어떤 수학자는 거대한 산을 정복하듯 난제를 해결하는 데 집중하고, 어떤 수학자는 산을 오르기 위한 길을 닦듯 정교한 이론 체계를 구축합니다. 중요한 것은 이 두 가지 접근 방식이 서로 보완하며 수학이라는 거대한 유기체를 성장시킨다는 점입니다. 난제 해결은 이론의 유효성을 검증하는 실험이 되고, 새로운 이론은 이전에 풀지 못했던 문제에 접근할 수 있는 새로운 시각을 제공합니다. 현대 사회에서 기하학을 비롯한 수학 교육의 중요성은 더욱 강조되고 있습니다. 4차 산업혁명 시대의 핵심 기술인 인공지능, 로봇 공학, 자율주행 등은 모두 고도의 기하학적 사고를 바탕으로 합니다. 수학은 단순히 공식을 암기하고 계산하는 학문이 아니라, 논리적인 체계를 세우고 세상을 바라보는 통찰력을 기르는 도구입니다. 학생들이 수학의 어려움에 매몰되기보다 그 이면에 숨겨진 질서와 조화를 발견하며 스스로 생각하는 힘을 기를 때, 비로소 수학은 우리 삶을 풍요롭게 만드는 지적 자산이 될 것입니다.

박지훈, 하승열

카오스재단노벨상/필즈상 해설강연

수학

[강연] 히치토론쇼 | 2018 여름 카오스 콘서트 '수학과 과학 42' 4부 | 4부

노벨상과 필즈상은 인류 지성의 정점을 상징하는 두 축입니다. 100년 넘는 역사를 지닌 노벨상이 인류 보편의 가치와 실용적 공헌을 중시한다면, 필즈상은 만 40세 이하라는 엄격한 나이 제한을 통해 수학적 잠재력과 순수한 학문적 성취를 기립니다. 두 상은 상금의 규모나 수여 주기에서 큰 차이를 보이지만, 인류가 우주의 비밀을 풀기 위해 걸어온 고귀한 여정을 증명한다는 점에서는 그 궤를 같이합니다. 학문적 권위의 우열을 가리기보다 각 상이 지닌 고유한 철학을 이해하는 것이 중요합니다. 산업혁명의 역사는 곧 기초과학 발전의 역사이기도 합니다. 증기기관이 이끈 1차 혁명은 열역학이, 전기를 활용한 2차 혁명은 전자기학이 그 토대가 되었습니다. 또한 컴퓨터와 인터넷이 주도한 3차 디지털 혁명의 이면에는 반도체 기술의 핵심인 양자역학이라는 현대 물리학의 정수가 자리 잡고 있습니다. 이처럼 새로운 과학적 발견은 단순한 기술적 진보를 넘어 사회 구조 전체를 뒤흔드는 거대한 변혁의 물결을 만들어왔으며, 우리는 그 혁명의 연쇄 속에서 살아가고 있습니다. 최근 화두가 되고 있는 4차 산업혁명에 대해서는 학계에서도 다양한 시각이 존재합니다. 인공지능과 빅데이터가 가져올 변화를 혁명으로 받아들이는 입장도 있지만, 이를 뒷받침할 새로운 기초과학적 토대가 아직 미진하다는 신중론도 만만치 않습니다. 진정한 의미의 혁명이 되기 위해서는 기술적 현상을 넘어 우주와 생명을 바라보는 근본적인 과학적 패러다임의 전환이 동반되어야 하기 때문입니다. 과학적 토대 없는 기술의 발전은 사상누각에 불과할 수 있다는 경고의 목소리에 귀를 기울여야 합니다. 자연이라는 거대한 책은 수학이라는 언어로 쓰여 있습니다. 물리학자들에게 수학은 우주와 대화하기 위한 필수적인 문법이며, 수학자들에게 과학은 그 문법을 통해 서술되는 경이로운 내용입니다. 수학이 실제 자연에 존재하지 않는 허수나 무리수를 다룸에도 불구하고 현실 세계를 이토록 완벽하게 설명해낸다는 사실은, 인간의 지성과 우주의 구조 사이에 깊은 연결고리가 있음을 암시합니다. 수학적 논리는 단순한 지적 유희를 넘어 자연의 본질을 꿰뚫는 가장 강력한 도구입니다. 수학적 구조가 우주의 본질인지, 아니면 인간의 두뇌가 우주를 이해하기 위해 만들어낸 도구인지에 대한 논쟁은 여전히 흥미롭습니다. 어떤 이들은 수학이 관찰과 실험을 넘어선 추상적 영역이라고 비판하기도 하지만, 역사적으로 수학적 아름다움을 쫓던 발견들이 훗날 물리적 실체로 증명된 사례는 수없이 많습니다. 결국 수학과 과학은 서로를 비추는 거울처럼 인류의 인식을 확장하는 상호보완적 관계에 있습니다. 이러한 융합적 사고는 우리가 직면한 복잡한 문제들을 해결하는 열쇠가 됩니다. 현대 물리학의 궁극적인 꿈은 자연계의 네 가지 힘을 하나로 통합하는 '모든 것의 이론'을 완성하는 것입니다. 전자기력과 약력, 강력은 표준모형을 통해 어느 정도 통합의 길을 찾았으나, 시공간의 휘어짐을 다루는 중력은 여전히 양자역학과의 결합을 거부하고 있습니다. 이 거대한 수수께끼를 풀기 위한 노력은 우주의 기원과 종말, 그리고 우리가 존재하는 이유에 대한 근원적인 해답을 찾는 과정입니다. 비록 완벽한 방정식이 모든 삶의 의미를 설명해주지는 못할지라도, 그 탐구 자체로 가치가 있습니다. 과학의 진정한 가치는 정해진 답을 얻는 것보다 더 나은 질문을 던지는 데 있습니다. 우주는 고정된 상태로 멈춰 있지 않고 끊임없이 요동치며 변화하는 역동적인 실체입니다. 이러한 변화의 흐름 속에서 우리가 던지는 질문들은 인류의 지평을 넓히는 등불이 됩니다. 세상이 왜 이토록 수학적인지, 그리고 우리는 왜 이 재미있는 과학을 탐구하는지 끊임없이 묻는 행위 자체가 인류 진보의 원동력입니다. 호기심을 잃지 않고 자신만의 질문을 찾아가는 과정이 곧 과학하는 마음의 본질입니다.

김민형, 박권, 송영조, 정하웅

카오스재단카오스콘서트

물리학
수학

[석학인터뷰] 신석우_ 수학자 말고 카페 사장 할까봐요? | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다'

수학이라는 학문은 흔히 차갑고 딱딱하게 느껴지지만, 사실은 사람과 사람 사이의 따뜻한 대화로 이어질 수 있는 주제입니다. 언젠가 수학 이야기를 가볍게 나눌 수 있는 카페를 열어 손님들에게 직접 내린 커피를 대접하며 소통하는 풍경을 그려보곤 합니다. 어려운 수식이나 복잡한 증명에 매몰되기보다는, 일상의 여유 속에서 수학의 즐거움을 가볍게 나누는 공간은 많은 이들에게 새로운 영감을 줄 것입니다. 이러한 소통의 장은 수학이 우리 삶과 얼마나 가까이 닿아 있는지를 깨닫게 해주는 소중한 기회가 될 것입니다. 현대 수학의 거대한 흐름인 랭랜즈 프로그램은 파편화된 여러 분야를 하나의 통합적 관점으로 묶어내는 시도입니다. 당장은 큰 연관성이 없어 보이는 대상들을 넓은 관점에서 바라보며, 그 속에 숨겨진 체계를 찾아내는 과정은 수학자들에게 새로운 정보를 제공하는 희망적인 이정표가 됩니다. 이처럼 서로 다른 영역을 하나로 잇는 통합적 사고는 학문의 경계를 허물고 더 깊은 진리에 다가가는 열쇠가 되며, 복잡한 수식 너머에 존재하는 거대한 질서를 깨닫게 해줍니다. 수학자의 삶은 어두운 동굴 속에서 금맥을 찾는 광부의 모습과 닮아 있습니다. 산속 어딘가에 금이 묻혀 있다는 확신은 있지만, 정확한 위치를 알 수 없기에 수많은 시행착오를 겪으며 땅을 파내려 가야 합니다. 연구 시간의 대부분이 성과 없는 헛손질로 끝나는 것처럼 보일지라도, 그 고된 과정 끝에 찾아내는 한 조각의 진리는 그간의 모든 노력을 보상해 줍니다. 돌멩이들 사이에서 빛나는 금을 찾아내듯, 수학자들은 보이지 않는 진리를 발견하기 위해 묵묵히 자신만의 길을 개척하며 학문적 탐구를 이어갑니다.

신석우

카오스재단2018 카오스강연 '모든 것의 수數다'

수학

[강연] 수학의 대통일 이론 랭랜즈 프로그램에 대하여 (4) _ by신석우 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 9강 | 9강 ④

회전판의 대칭성을 이용하면 정수론의 난제를 해결할 수 있는 실마리를 얻게 됩니다. 다섯 칸으로 나뉜 회전판을 두 가지 색으로 칠하는 경우의 수를 따져보면, 모든 칸이 같은 색인 경우를 제외한 나머지 조합들이 회전 대칭에 의해 5의 배수로 묶이는 것을 확인할 수 있습니다. 이러한 군의 대칭성은 페르마의 소정리를 증명하는 강력한 도구가 됩니다. 수학적 구조인 군을 통해 수의 성질을 파악하는 방식은 현대 수학의 중요한 흐름 중 하나로 자리 잡고 있습니다. 군론의 핵심 개념인 '작용'과 '표현'은 수학적 대상을 바라보는 시각을 획기적으로 확장합니다. 모든 대상을 변화와 함수로 이해하려는 시도가 작용이라면, 이를 행렬과 벡터의 언어로 구체화하여 분석하는 것이 표현론입니다. 특히 표현론은 선형대수학의 틀 안에서 대칭성을 연구하며 수학적 구조를 더욱 명확하게 드러냅니다. 벡터 공간이라는 무대 위에서 군의 성질을 표현함으로써, 우리는 추상적인 대칭성을 계산 가능한 형태로 변환하여 정밀하게 분석할 수 있게 됩니다. 앤드루 와일즈가 페르마의 마지막 정리를 증명할 때 결정적인 역할을 한 것도 바로 이 '표현'의 개념이었습니다. 타원 곡선과 모듈러 형식 사이의 관계를 증명하는 과정에서 연속 표현의 존재는 수학적 진실을 밝히는 핵심 열쇠가 되었습니다. 표현을 만들어낸다는 것은 대칭성을 이용해 복잡한 대상을 설명할 수 있는 기반을 마련하는 일과 같습니다. 이는 단순한 수치 계산을 넘어 서로 다른 수학적 세계를 잇는 가교 역할을 수행하며 정수론의 비약적인 발전을 이끌었습니다. 표현론은 현대 물리학의 표준 모형을 정립하는 데에도 필수적인 토대를 제공했습니다. 머리 겔만은 SU(3)라는 군의 표현을 연구하여 쿼크의 존재를 예측했고, 이는 소립자 물리학의 혁명으로 이어졌습니다. 전자기력, 약력, 강력은 각각 특정 군의 표현으로 설명되며, 현재 물리학자들은 중력까지 아우르는 '모든 것의 이론'을 꿈꾸며, 수학적 대칭성을 통해 우주의 근본 원리를 통합하려는 거대한 도전을 이어가고 있습니다. 랭랜즈 프로그램은 현대 수학의 '대통일 이론'이라 불리며 여러 분야를 하나로 묶는 거대한 지도의 역할을 수행합니다. 에를랑겐 프로그램의 정신을 계승하여 군의 표현론을 통해 정수론, 대수기하학, 해석학 사이의 깊은 연관성을 탐구하는 것이 이 프로그램의 핵심입니다. 이 거대한 추측들이 해결된다면 우리는 수학의 각 분야를 개별적으로 이해하는 것을 넘어, 하나의 통합된 체계 안에서 바라볼 수 있게 됩니다. 이는 수학적 지식의 지평을 근본적으로 확장하는 시도입니다. 현대 수학의 대양과 같은 랭랜즈 프로그램을 탐험하기 위해서는 다양한 분야의 전문 지식과 긴밀한 협업이 필수적입니다. 정수론, 표현론, 기하학 등 각기 다른 전공을 가진 수학자들이 서로의 지혜를 모아 공동 연구를 진행함으로써 새로운 진보를 이뤄내고 있습니다. 비록 가야 할 길이 멀고 험난할지라도, 이러한 학문적 융합은 수학을 발전시키는 강력한 원동력이 됩니다. 랭랜즈 프로그램은 단순한 연구의 종착역이 아니라, 더 넓은 진리를 향해 나아가는 새로운 시작점이라 할 수 있습니다. 수학적 추측이 때로는 한계에 부딪히거나 예상치 못한 방향으로 흐르더라도, 그 탐구 과정 자체가 인류 지성의 위대한 승리라는 점은 변하지 않습니다. 힐베르트 프로그램이 불완전성 정리에 의해 도전을 받았음에도 수학이 더욱 풍성해졌듯, 랭랜즈 프로그램 역시 우리에게 우주의 질서에 대한 깊은 통찰을 제공합니다. 인간이 지닌 이해의 한계를 확인하고 그 너머를 상상하는 도전은 멈추지 않을 것입니다. 이러한 끊임없는 탐구 정신이야말로 수학이 지닌 진정한 가치이자 아름다움입니다.

신석우, 정경훈

카오스재단카오스강연

수학

[강연] 수학의 대통일 이론 랭랜즈 프로그램에 대하여 (3) _ by신석우 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 9강 | 9강 ③

수학은 끊임없이 새로운 지평을 열어가는 학문입니다. 우리가 마주하는 지식의 경계선에서는 모든 것이 복잡하고 어렵게 느껴지지만, 시야를 넓혀 전체를 조망하면 그 복잡함 속에 숨겨진 단순한 질서가 드러나기도 합니다. 랭랜즈 프로그램과 같은 거대한 연구 체계는 흩어져 있던 여러 수학적 개념들을 하나로 통합하여, 페르마의 마지막 정리와 같은 난제들을 보다 명료하게 바라볼 수 있는 틀을 제공하며 수학의 세계를 확장합니다. 수학자들이 고된 연구를 지속할 수 있는 원동력은 무엇일까요? 그것은 서로 관련 없어 보이던 두 대상 사이의 연결고리를 발견했을 때 느끼는 짜릿함에 있습니다. 개별적으로 존재하던 지식들이 하나로 통합되는 과정은 수학자들에게 커다란 정신적 보상을 제공합니다. 어려운 문제일수록 이를 해결했을 때의 성취감은 더욱 크며, 이러한 지적 즐거움은 일종의 중독성을 지니고 있어 연구자들이 끊임없이 새로운 도전에 나설 수 있게 만듭니다. 하지만 수학 연구의 과정이 늘 즐거운 것만은 아닙니다. 대개의 경우 정답을 찾지 못해 인고의 시간을 보내야 하며, 어디로 나아가야 할지 알 수 없는 불투명한 상황에 놓이기도 합니다. 이럴 때 수학자들은 잠시 문제를 내려놓고 산책을 하거나 음악을 듣는 등 전혀 다른 활동에 몰입하며 스트레스를 해소합니다. 역설적이게도 문제에서 멀어져 머릿속을 비우는 시간은 잠재의식이 작동하여 갑작스러운 아이디어를 떠올리게 하는 중요한 계기가 됩니다. 현대 수학은 크게 대수학, 기하학, 해석학, 위상수학으로 나뉩니다. 대수학은 수와 구조의 이론을 다루며, 기하학은 우리가 사는 공간과 고차원 공간을 이해하는 학문입니다. 해석학은 미적분학을 바탕으로 수의 연속성과 극한을 탐구합니다. 과거에는 이들 분야가 엄격히 구분되었으나, 현대에 이르러서는 그 경계가 점차 허물어지고 있습니다. 오늘날의 수학자들은 자신의 전공에 매몰되지 않고 다양한 분야를 넘나들며 협업을 통해 거대한 문제를 해결해 나갑니다. 특히 기하학은 우리가 세상을 인식하는 가장 기본적인 도구입니다. 어린아이가 숫자를 세기 전 모양을 먼저 인식하듯, 공간과 형태를 구별하는 능력은 수학적 사고의 시작점이라 할 수 있습니다. 최근 교육 과정에서 기하학의 비중이 줄어드는 것에 대해 우려의 목소리가 높은 이유도 여기에 있습니다. 기하학적 사고가 결여되면 세상을 보는 시야가 좁아질 수밖에 없으며, 이는 현대 사회에서 더욱 중요해지는 다각적 문제 해결 능력을 저해할 수 있습니다. 수학은 전문가들만의 전유물이 아닙니다. 최근에는 일반인들도 수학의 매력을 느낄 수 있는 훌륭한 교양 서적들이 많이 출간되고 있습니다. 전문적인 계산이나 복잡한 증명에 얽매이기보다, 수학적 아이디어가 전하는 철학적 의미와 역사적 흐름을 따라가다 보면 누구나 수학이라는 거대한 지적 세계에 발을 들일 수 있습니다. 수학에 대한 흥미를 잃지 않고 자신만의 관점에서 문제를 바라보는 태도는 수학을 즐기는 가장 좋은 방법 중 하나입니다. 랭랜즈 프로그램은 수학의 여러 분야를 유기적으로 연결하는 '원대한 계획'과 같습니다. 이는 단순한 문제 풀이를 넘어 수학 전체를 관통하는 일관된 방향성을 제시합니다. 특히 '군'이라는 개념을 통해 대칭성을 수학적 언어로 표현하고, 이를 활용해 방정식의 해를 찾거나 함수의 특성을 분석하는 과정은 매우 경이롭습니다. 서로 다른 대상 사이의 쌍대성을 발견하고 이를 통합하려는 노력은 수학이 지닌 진정한 가치와 무한한 가능성을 잘 보여줍니다.

신석우, 정경훈

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[강연] 수학의 대통일 이론 랭랜즈 프로그램에 대하여 (2) _ by신석우 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 9강 | 9강 ②

수학에서 타원 곡선의 정수해나 유리수해를 구하는 것은 매우 어려운 과제입니다. 이를 해결하기 위해 수학자들은 방정식을 직접 푸는 대신, 소수로 나눈 나머지를 이용해 해의 개수를 파악하는 방식을 선택했습니다. 이러한 접근은 복잡한 문제를 다루기 쉬운 형태로 변환해주며, 컴퓨터를 활용한 방대한 데이터베이스 구축을 가능하게 했습니다. 비록 컴퓨터가 무한한 대상을 모두 다룰 수는 없지만, 제한된 정보 속에서 수학적 추측을 검증하고 새로운 규칙성을 발견하는 중요한 도구가 됩니다. 타원 곡선의 해를 세어 나열한 숫자들은 마치 생명체의 유전자와 같은 역할을 합니다. 각 소수 p에 대해 얻은 해의 개수를 바탕으로 정의된 이 수열은 해당 방정식이 가진 고유한 특성을 고스란히 담고 있습니다. 인체의 유전자를 이해함으로써 질병을 통제할 수 있듯이, 방정식의 유전자를 밝혀내는 것은 수학적 대상의 본질을 깊이 있게 이해하는 열쇠가 됩니다. 이는 단순히 숫자를 나열하는 것을 넘어, 서로 다른 수학적 대상 사이의 숨겨진 연결 고리를 찾아내는 기초 데이터가 됩니다. 보형 형식은 대칭성을 가진 특수한 함수로, 무한급수의 형태로 나타납니다. 이 함수의 계수들 또한 일정한 규칙을 가진 수열을 형성하며, 타원 곡선과는 전혀 다른 세계에서 온 또 다른 유전자의 원천이 됩니다. 보형 형식의 대칭성은 매우 강력하여, 일부 구간의 값만 알아도 전체를 결정할 수 있는 특성을 가집니다. 아무 숫자나 나열한다고 해서 보형 형식이 되는 것이 아니기에, 여기서 추출된 수열은 매우 특별하고 희귀한 수학적 가치를 지니며 타원 곡선의 해 집합과는 독립적인 체계를 이룹니다. 1950년대 제시된 타니야마-시무라 추측은 타원 곡선과 보형 형식이 동일한 유전자를 공유한다는 놀라운 내용을 담고 있습니다. 정의나 이론적 배경이 전혀 다른 두 대상이 모든 소수에 대해 일치하는 계수를 갖는다는 것은 수학계에 큰 충격을 주었습니다. 이는 단순한 우연을 넘어 두 세계 사이에 깊은 연관성이 있음을 시사합니다. 이러한 발견은 수학자들이 서로 상관없어 보이는 분야들을 하나의 틀 안에서 바라보게 만드는 결정적인 계기가 되었으며, 더 넓은 범위의 수학적 통합을 꿈꾸게 했습니다. 랭랜즈 프로그램은 이러한 상호 법칙을 더욱 일반화하여 수학의 여러 분야를 하나로 묶는 거대한 기획입니다. 방정식의 세계, 수의 대칭성 세계, 그리고 함수가 존재하는 세계를 유전자라는 공통 분모로 연결하는 것입니다. 이는 서로 다른 수학적 대상들이 정보를 주고받을 수 있는 통신망을 구축하여 난제 해결의 새로운 길을 열어줍니다. 랭랜즈가 제시한 이 거대한 지도는 현대 수학의 여러 분야를 관통하며, 우리가 알지 못했던 수학적 우주의 구조를 이해하는 데 결정적인 역할을 수행하고 있습니다. 페르마의 마지막 정리는 랭랜즈 프로그램의 위력을 보여주는 대표적인 사례입니다. 앤드루 와일즈는 타니야마-시무라 추측을 증명함으로써 350년 동안 풀리지 않던 난제를 해결했습니다. 만약 페르마 방정식에 해가 존재한다면 매우 비정상적인 타원 곡선이 만들어지는데, 이에 대응하는 보형 형식 역시 존재할 수 없음을 증명하여 모순을 이끌어낸 것입니다. 다른 세계의 정보를 빌려와 원래 세계의 문제를 해결하는 이 방식은 현대 수학의 가장 강력한 도구 중 하나로 자리 잡으며 수학 연구의 패러다임을 바꾸어 놓았습니다. 현재 랭랜즈 프로그램은 피터 숄체와 같은 젊은 수학자들에 의해 새로운 기하학적 접근법이 도입되며 끊임없이 진화하고 있습니다. 이는 단순히 과거의 난제를 해결하는 데 그치지 않고, 수학의 대통일을 향한 강력한 기반을 구축하는 과정입니다. 서로 다른 분야가 유전자를 통해 연결됨으로써 우리는 더욱 체계적이고 깊이 있는 시각으로 수학적 진리를 탐구할 수 있게 되었습니다. 앞으로도 이 이론 체계는 수십 년간 수학 연구의 핵심적인 이정표 역할을 하며 인류의 지성적 지평을 넓혀갈 것입니다.

신석우

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[강연] 수학의 대통일 이론 랭랜즈 프로그램에 대하여 (1) _ by신석우 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 9강 | 9강 ①

수학의 '대통일 이론'이라 불리는 랭글랜즈 프로그램은 서로 무관해 보이는 수학의 여러 분야를 하나의 거대한 체계로 통합하려는 시도입니다. 1967년 로버트 랭글랜즈가 제시한 이 비전은 현대 수학에서 가장 야심 찬 연구 과제 중 하나로 손꼽히며, 그는 이 공로를 인정받아 2018년 수학계의 노벨상이라 불리는 아벨상을 수상했습니다. 이 프로그램은 단순히 이론적인 통합에 그치지 않고, 수론과 해석학, 기하학 사이의 숨겨진 연관성을 밝혀냄으로써 수백 년간 풀리지 않았던 난제들을 해결할 수 있는 강력한 열쇠를 제공합니다. 정수론의 핵심적인 질문은 주어진 방정식의 정수 해나 유리수 해를 구하는 것입니다. 실수의 범위에서는 비교적 쉽게 해를 찾을 수 있는 방정식이라도, 정수라는 제한된 조건 안에서 해를 찾는 일은 매우 까다롭고 복잡한 문제입니다. 예를 들어 피타고라스 방정식처럼 익숙한 형태조차 정수 해를 구하려 하면 그 난도가 급격히 상승하며, 때로는 해가 존재하는지조차 파악하기 어렵습니다. 이러한 정수 해의 희소성과 불규칙성은 수학자들에게 큰 도전 과제가 되었으며, 이를 해결하기 위해 수학자들은 방정식을 바라보는 새로운 관점을 고민하게 되었습니다. 복잡한 정수론 문제를 해결하기 위한 유용한 도구 중 하나는 '합동식'입니다. 이는 숫자를 특정 수로 나눈 나머지가 같으면 동일한 것으로 간주하는 개념으로, 우리가 일상에서 사용하는 시계의 원리와 유사합니다. 방정식을 직접 푸는 대신 소수 p로 나눈 나머지의 세계에서 해의 개수를 세어보는 방식은 문제의 난도를 낮추면서도 본질적인 정보를 보존합니다. 이러한 합동 방정식의 해를 분석하는 과정은 복잡한 수의 체계를 단순화하여 그 이면에 숨겨진 규칙성을 포착할 수 있게 해주며, 이는 현대 정수론 연구의 기초가 되는 중요한 접근법입니다. 수학자 가우스는 합동 방정식의 해가 존재하는지 여부를 결정하는 놀라운 규칙인 '이차 상호 법칙'을 발견했습니다. 이는 특정 소수에 대한 해의 존재 여부가 다른 수로 나눈 나머지에 의해 결정된다는 사실을 보여줍니다. 이러한 규칙성은 방정식이 가진 고유한 특성, 즉 '유전자'와 같습니다. 각 소수에 대해 해의 개수를 조사하고 그 데이터가 보여주는 패턴을 분석하면, 우리는 방정식의 정체를 파악할 수 있는 결정적인 단서를 얻게 됩니다. 이러한 유전적 정보는 서로 다른 수학적 대상들을 연결하는 가교 역할을 하며 대통일 이론의 토대를 형성합니다. 20세기 초반의 수학자들은 가우스의 법칙을 일반화한 '유체론'을 통해 많은 성과를 거두었지만, 여전히 모든 방정식을 설명하기에는 한계가 있었습니다. 특히 '타원 곡선'과 같은 복잡한 구조를 가진 방정식들은 기존의 이론적 틀을 벗어나 있었습니다. 타원 곡선은 현대 암호학에서도 중요하게 다뤄지는 대상으로, 이와 관련된 '버치-스위너턴다이어 추측'은 현대 수학의 7대 난제 중 하나로 꼽힙니다. 랭글랜즈 프로그램은 바로 이러한 한계를 극복하고, 타원 곡선을 포함한 더 넓은 범위의 수학적 대상들을 통합적인 관점에서 이해하려는 원대한 목표를 향해 나아가고 있습니다.

신석우

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[강연] 수학역사상 가장 유명한 난제 리만가설 (4) _ by기하서 | 2018 봄 카오스 강연 '모든 것의 수數다' 3강 | 3강 ④

수학의 세계에는 수많은 난제가 존재하지만, 그중에서도 리만 가설은 많은 수학자들에게 도전의 대상이자 꿈의 정점입니다. 기하서 교수는 폴리아 추측을 해결하는 과정에서 이 거대한 산의 존재를 다시금 확인하게 되었습니다. 8년 동안 매달렸던 폴리아 추측을 동료와의 협력을 통해 단 넉 달 만에 해결하며 얻은 자신감은 그를 리만 가설이라는 더 큰 도전으로 이끌었습니다. 비록 그 길이 20년이라는 긴 세월을 요구할 것이라고는 당시에는 상상조차 하지 못했지만, 난제를 향한 순수한 열정은 그를 수학의 깊은 심연으로 안내하는 원동력이 되었습니다. 20년이라는 긴 시간 동안 하나의 문제에 매달리는 것은 결코 쉬운 일이 아닙니다. 기 교수는 이 과정을 고통스러운 인고의 시간이 아닌, 매일매일 마주하는 아름다운 순간들의 연속으로 기억합니다. 그는 자신의 직관을 확인하기 위해 전 세계의 저명한 수학자들을 찾아다니며 교류했습니다. 모토하시, 후지, 요시다 등 세계적인 석학들과의 대화는 리만 가설에 대한 다양한 시각을 제공해주었습니다. 이러한 상호작용은 수학 연구가 단순히 혼자만의 고립된 작업이 아니라, 전 세계 수학자들의 상상력이 교차하며 지평을 넓혀가는 역동적인 과정임을 보여줍니다. 연구 과정에서 마주한 가장 큰 전환점은 현대 수학의 거대한 흐름인 랭글랜즈 프로그램과의 만남이었습니다. 대수기하학적 기초 없이 리만 가설에 도전하는 것의 한계를 깨달은 그는, 늦은 시기임에도 불구하고 새로운 이론을 공부하기 시작했습니다. 특히 숄체 교수의 논문을 해독할 수 있게 된 시점부터 그는 지식의 갈증에서 벗어나 진정한 자유를 느꼈다고 회상합니다. 이는 수학자에게 필요한 것이 단순히 기존의 지식을 습득하는 것을 넘어, 끊임없이 변화하는 학문의 흐름을 수용하고 자신의 한계를 극복하려는 유연한 태도임을 시사합니다. 리만 가설과 같은 거대 난제를 다루기 위해서는 천재적인 지능만큼이나 독특한 성격적 특성이 요구됩니다. 기 교수는 수학자를 두 부류로 나누며, 자신을 '성격'으로 버티는 유형이라 정의합니다. 오랜 시간 공들여온 연구가 실패로 돌아갔음을 깨달은 순간에도 좌절하지 않고 다시 시작할 수 있는 마음가짐이 중요하기 때문입니다. 단순히 좋아한다는 감정만으로는 3년에서 5년의 한계를 넘기 어렵지만, 실패를 딛고 일어서는 회복탄력성은 수학자가 난제를 해결하기 위해 갖춰야 할 필수적인 자질입니다. 리만 가설의 역사는 1859년 베른하르트 리만이 발표한 단 8쪽짜리 논문에서 시작되었습니다. 가우스가 15세의 나이에 예견했던 소수 정리를 보다 구체화하려 했던 리만은, 소수의 개수를 세는 '문학적'인 표현을 정교한 수학적 공식으로 변환하는 업적을 남겼습니다. 리만은 자신의 가설이 증명된다면 소수의 분포를 완벽히 이해할 수 있을 것이라 보았지만, 정작 그 증명은 후대의 몫으로 남겨두었습니다. 160년이 지난 지금까지도 이 가설이 수많은 수학자들을 매료시키고 괴롭히는 이유는, 그 안에 우주의 질서를 관통하는 소수의 비밀이 숨겨져 있기 때문일 것입니다.

기하서, 김영원

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[카오스 술술수학] All Is Number!

피타고라스는 '모든 것은 수다'라고 선언하며 세상의 규칙을 수로 설명하려 했습니다. 그는 직각삼각형의 빗변과 나머지 두 변 사이의 관계를 밝혀낸 피타고라스의 정리를 발견하고 신에게 감사를 표할 정도로 수의 질서에 감탄했습니다. 반면 아리스토텔레스는 수에 과도한 의미를 부여하는 그를 비웃기도 했습니다. 현대 수학자 김민형 교수는 수의 본질이 단순한 숫자의 나열이 아닌 '연산'에 있다고 정의합니다. 특정 체계 안에서 계산을 통해 새로운 의미를 창출할 수 있는 구조만이 수의 자격을 갖춘다는 것이 그의 핵심적인 주장입니다. 우리는 흔히 숫자가 있어야만 수라고 생각하지만, 연산이 가능하다면 숫자가 없어도 수로 정의될 수 있습니다. 예를 들어 기하학적 대상인 점들도 기준점이 존재한다면 서로 더하거나 곱하여 새로운 점을 만들어낼 수 있습니다. 이러한 논리는 3차원 도형으로도 확장됩니다. 도넛 모양의 도형에 구를 더하는 연산이 가능하며, 이때 구는 숫자 0과 같은 역할을 수행합니다. 우리가 어린 시절 낯선 숫자의 덧셈을 익혔던 것처럼, 수의 본질이 숫자가 아닌 연산에 있다는 사실을 받아들이면 기하학적 대상들 또한 수의 범주에 포함된다는 사실을 깨닫게 됩니다. 수의 개념은 자연수에서 실수와 허수를 넘어 이제는 물리학의 영역까지 닿아 있습니다. 리처드 파인만이 고안한 '파인만 도형'은 전자와 양전자가 만나 빛이 되는 과정을 입자 연산으로 보여줍니다. 이는 우주를 구성하는 기본 입자들조차 수의 체계 안에서 작동하고 있음을 시사합니다. 과거 피타고라스가 외쳤던 통찰은 현대 수학과 물리학을 통해 증명되고 있습니다. 우주의 모든 만물이 입자로 이루어져 있고 그 입자가 연산 가능한 수라면, 결국 우리가 마주하는 거대한 우주 전체가 하나의 정교한 수의 집합체인 셈입니다.

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